Resposta:
# x = 9 #
Explicació:
Estem buscant el nombre sencer més gran on:
#f (x)> g (x) #
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #
Hi ha algunes maneres de fer-ho. Un és simplement provar enters. Com a línia de base, provem # x = 0 #:
#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#
#0+0+9>1#
i així ho sabem # x # és com a mínim 0 de manera que no hi ha necessitat de provar nombres enters negatius.
Podem veure que el poder més gran de l'esquerra és 4. Provem # x = 4 # i veure què passa:
#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#
#5(256)+30(4)^2+9>81#
Em quedo amb la resta de matemàtiques: és clar que la part esquerra és més gran per una quantitat considerable. Així que provem # x = 10 #
#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#
#5(10000)+30(100)+9>59049#
#50000+3000+9>59049#
tan # x = 10 # és massa gran. Crec que la nostra resposta serà 9. Anem a comprovar:
#5(6561)+30(81)+9>19683#
#32805+30(81)+9>19683#
i, de nou, queda clar que el costat esquerre és més gran que el de la dreta. Així que la nostra resposta final és # x = 9 #.
Quines altres maneres de trobar això? Hem pogut provar gràfics. Si expressem això com # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0, obtenim un gràfic que sembla així:
gràfic {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}
i podem veure que la resposta arriba al voltant del # x = 8,5 # marca, segueix sent positiu a # x = 9 # i es torna negatiu abans d’arribar # x = 10 # - fabricació # x = 9 # el nombre sencer més gran.
De quina altra manera podem fer això? Podríem resoldre # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # algebraicament.
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #
Per facilitar la matemàtica, primer ho notaré com els valors de # x # augmenten, els termes de l’esquerra es tornen irrellevants. Primer, els 9 es reduiran significativament fins que sigui completament irrellevant, i el mateix passa amb el # 30x ^ 2 # terme. Per tant, es redueix a:
# 5x ^ 4> 3 ^ x #
#log (5x ^ 4)> registre (3 ^ x) #
# 4log5x> xlog3 #
# 4log5 + 4logx> xlog3 #
# (4log5 + 4logx) / log3> x #
i crec que estic fent un embolic! l’algebra no és una manera fàcil d’acostar aquest problema.
