Com puc resoldre aquesta equació?

Resposta:

# "Veure explicació" #

Explicació:

# "Primer aplicar el teorema de les arrels racionals per trobar arrels racionals".

# "Trobem" x = 1 "com a arrel racional." #

# "Per tant," (x-1) "és un factor. Es divideix aquest factor:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Tenim una equació cúbica restant que no té arrels racionals".

# "Podem solucionar-ho amb la substitució del mètode Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Substitueix" x = y + 2/9 "

# y ^ 3 - (22/27) i - (610/729) = 0

# "Substitució" y = (sqrt (22) / 9) z ". Llavors ens arribem" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Substitueix" z = t + 1 / t ". Llavors ens quedem" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Substituint" u = t ^ 3 ", produeix l’equació quadràtica:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Una arrel d'aquesta equació quadràtica és u = 5.73717252." #

# "Substitució de les variables, rendiment:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Les altres arrels són complexes:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Es poden trobar dividint" (x-1.44631151)) #

Resposta:

El zero real racional és # x = 1 #.

Després hi ha un zero real irracional:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

i zeros complexos no reals relacionats.

Explicació:

Donat:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Tingueu en compte que la suma dels coeficients és #0#.

Això és: #3-5+2 = 0#

Per tant, es pot deduir que # x = 1 # és un zero i # (x-1) # un factor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (blanc) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

El cúbic restant és una mica més complicat …

Donat:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Transformació de Tschirnhaus

Perquè la tasca de resoldre el cúbic sigui més senzilla, fem el cúbic més senzill utilitzant una substitució lineal coneguda com a transformació de Tschirnhaus.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

on # t = (9x-2) #

Mètode de Cardano

Volem resoldre:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Deixar # t = u + v #.

Llavors:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Afegiu la restricció # v = 22 / u # per eliminar la # (u + v) # termini i obtenir:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Multiplicar per # u ^ 3 # i reordena lleugerament per obtenir:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0

Utilitzeu la fórmula quadràtica per trobar:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648)) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Com que és real i la derivació és simètrica # u # i # v #, podem utilitzar una d’aquestes arrels # u ^ 3 # i l'altra per # v ^ 3 # per trobar arrel real:

# t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

i arrels complexes relacionades:

# t_2 = arrel omega (3) (305 + 27sqrt (113)) arrel omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113)) #

on # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # és l’arrel del cub complex complex de #1#.

Ara # x = 1/9 (2 + t) #. Així, les arrels del nostre cubic original són:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

# x_2 = 1/9 (2 + arrel omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + arrel omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113)) # #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + arrel omega (3) (305-27sqrt (113))) #