Què són els extrems de f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 a [-oo, oo]?

Resposta:

#f (x) # té un mínim de # x = 2 #

Explicació:

Abans de continuar, tingueu en compte que es tracta d'una paràbola orientada cap amunt, és a dir, podem saber sense cap càlcul addicional que no tindrà màxims, i un únic mínim al seu vèrtex. Completar la plaça ens mostraria això #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, donant el vèrtex i, per tant, el mínim únic a #x = 2 #. Anem a veure com s’aconseguiria això amb el càlcul.

Qualsevol extrema es produirà en un punt crític o en un punt final de l’interval donat. Com el nostre interval de temps de # (- oo, oo) # és obert, podem ignorar la possibilitat dels punts finals, de manera que primer identificarem els punts crítics de la funció, és a dir, el punt en què la derivada de la funció és #0# o no existeix.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Establint aquest valor igual #0#, trobem un punt crític a # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Ara, podem provar per veure si és un extrem (i quin tipus), comprovant alguns valors de # f # al voltant d’aquest punt o utilitzant la segona prova derivada. Fem servir aquesta última.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Com #f '' (2) = 6> 0 #, la segona prova derivada ens ho explica #f (x) # té un mínim local a # x = 2 #

Així, utilitzant #f '(x) # i #f '' (x) #, ho trobem #f (x) # té un mínim de # x = 2 #, coincidint amb el resultat que hem trobat amb l’àlgebra