Quins són els punts d'extrem i de selle de f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

No he trobat punts de selle, però hi havia un mínim:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Per trobar l’extrema, prenguem la derivada parcial respecte a # x # i # y # per veure si les dues derivacions parcials poden igualar simultàniament #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (deli)) _x = x + 2y + 1 #

Si simultàniament han de ser iguals #0#, formen un sistema d’equacions:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Això lineal sistema d’equacions, quan es resten per cancel·lar-lo # y #, dóna:

# 3x - 1 = 0 => color (verd) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0

# => color (verd) (y = -2/3) #

Atès que les equacions eren lineals, només hi havia un punt crític i, per tant, només un extrem. La segona derivada ens indicarà si era màxim o mínim.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (deli ^ 2)) _x = 2 #

Aquests segons parcials estan d’acord, de manera que el gràfic és còncau, al llarg de la pàgina # x # i # y # eixos.

El valor de #f (x, y) # al punt crític és (tornant a connectar-se a l'equació original):

#color (verd) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = color (verd) (- 1/3) #

Per tant, tenim un mínim de #color (blau) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Ara, per al derivats creuats comprovar si hi ha punts de selle que poguessin estar al llarg d’una diagonal:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Com que tots dos són d’acord també, en lloc de ser signes oposats, hi ha no hi ha punt de muntar.

Podem veure com es veu només aquest gràfic: