Hem: {1,2,3} -> {1,2} i g: {1,2,3} -> {1,2,3,4} .Quantes funcions f i g injectives existeixen?

Resposta:

# f # no pot ser injectiu.

# g # pot ser injectiu a #24# maneres.

Explicació:

Una funció és injectiva si no hi ha dues entrades que proporcionen la mateixa sortida. En altres paraules, alguna cosa així

#f (x) = f (i), quad x

no pot passar.

Això vol dir que, en el cas del domini finit i del codomà, una funció pot ser injectiva si i només si el domini és més petit que el codomà (o, com a molt, igual) en termes de cardinalitat.

Aquesta és la raó # f # mai no pot ser injectiu. De fet, podeu solucionar-ho #f (1) # com vulguis. Digues #f (1) = 1 #, per exemple. En triar #f (2) #, no podem dir això de nou #f (2) = 1 #, o # f # no seria injectiu. Però quan es tracta #f (3) # no tenim altra opció, si diem #f (3) = 1 # tenim #f (1) = f (3) #, i si diem #f (3) = 2 # tenim #f (2) = f (3) #.

En altres paraules, hem d’assessorar una de les dues possibles sortides a cadascuna de les tres entrades. Hauria de ser evident que les entrades no poden proporcionar sortides diferents.

Per altra banda # g # pot ser injectiu, ja que hi ha "espai suficient": cadascuna de les tres entrades pot triar una de les quatre sortides de manera que no hi hagi entrades diferents que proporcionin la mateixa sortida.

Però, de quantes maneres? Bé, suposem que començarem de nou #f (1) #. Podem triar qualsevol de les quatre sortides d’aquesta entrada, de manera que puguem triar #f (1) # de quatre maneres.

Quan es tracta de #f (2) #, perdem una mica de llibertat: podem assignar qualsevol valor #f (2) #, excepte el que vam assignar #f (1) #, així que ens queda dues opcions. Per exemple, si la fixem #f (1) = 2 #, llavors #f (2) # pot ser #1#, #3# o bé #4#.

Per la mateixa lògica, tenim dues opcions #f (3) #: a partir de les quatre opcions possibles, descartem aquelles que ja estiguin assignades #f (1) # i #f (3) #.

Així, podem definir # g # in #4*3*2 = 24# maneres tal que # g # és injectiu.