Quina és l'arrel quadrada de 67?

Resposta:

#67# és un avantatge, i no es pot tenir en compte …

Explicació:

………i per tant #67^(1/2)# #=# # + - sqrt67 #.

Resposta:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

Explicació:

#67# és un nombre primer, de manera que en particular no té factors quadrats. Així, la seva arrel quadrada és irracional i no simplificable.

Hi ha diversos mètodes que podeu utilitzar per trobar aproximacions racionals.

Heus aquí un mètode basat en el mètode babilònic …

Per trobar l’arrel quadrada d’un nombre # n #, trieu una aproximació inicial # p_0 / q_0 # on # p_0, q_0 # són enters.

A continuació, apliqueu les següents fórmules repetidament per obtenir millors aproximacions:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2 p_i q_i):}

En el nostre exemple, anem #n = 67 #, # p_0 = 8 # i # q_0 = 1 #, des de #8^2 = 64# està molt a prop #67#. Llavors:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 8 ^ 2 + 67 * 1 ^ 2 = 64 + 67 = 131), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 8 * 1 = 16):} #

# {(p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 131 ^ 2 + 67 * 16 ^ 2 = 17161 + 17152 = 34313), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 131 * 16 = 4192):} #

Si ens aturem aquí, tenim:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

que és exacta #6# decimals.