Quin és l’extrem absolut de la funció: 2x / (x ^ 2 +1) en un interval tancat [-2,2]?

L’extrema absolut d’una funció en un interval tancat # a, b # pot ser o extrema local en aquest interval, o els punts que tenen els ascisses #a o b #.

Així doncs, trobem l’extrema local:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#y '> = 0 #

si

# -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1 #.

Així doncs, la nostra funció està disminuint #-2,-1)# i en #(1,2# i està creixent #(-1,1)#, i, per tant, el punt #A (-1-1) # és un mínim local i el punt #B (1,1) # és un màxim local.

Ara trobem l’ordenada dels punts a l’extrem de l’interval:

#y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4 / 5) #

#y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) #.

Doncs el candidats són:

#A (-1-1) #

#B (1,1) #

#C (-2, -4 / 5) #

#D (2,4 / 5) #

i és fàcil entendre que són extrems absoluts # A # i # B #, com pots veure:

gràfic {2x / (x ^ 2 +1) -2, 2, -5, 5}