Quin és el pendent de la línia normal a la línia tangent de f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) a x = (15pi) / 8?

Resposta:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Gràfic interactiu

Explicació:

El primer que haurem de fer és calcular #f '(x) # a #x = (15pi) / 8 #.

Fem aquest terme per terme. Per al # sec ^ 2 (x) # terme, tingueu en compte que tenim dues funcions incrustades entre elles: # x ^ 2 #, i #sec (x) #. Per tant, haurem d’utilitzar una regla de cadena aquí:

# d / dx (seg (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (seg (x)) #

#color (blau) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Per al segon termini, haurem d'utilitzar una regla del producte. Tan:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = color (vermell) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + color (vermell) (d / dxcos (x-pi / 4))) (x) #

#color (blau) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Potser us preguntareu per què no vam utilitzar una regla de cadena per a aquesta part, ja que tenim una norma # (x - pi / 4) # dins del cosinus. La resposta és que ho hem fet implícitament, però el vam ignorar. Observeu com es deriva de # (x - pi / 4) # és simplement 1? Per tant, multiplicar-ho no canvia res, de manera que no el redactem en els càlculs.

Ara, fem tot junts:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = color (violeta) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Mireu els vostres senyals.

Ara, hem de trobar el pendent de la línia tangent a #f (x) # a #x = (15pi) / 8 #. Per fer-ho, només connecteu aquest valor #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = color (violeta) (~~ -6.79) #

Tanmateix, el que volem no és la línia tangent a f (x), sinó la línia normal a ell. Per aconseguir-ho, només prenem el recíproc negatiu del pendent anterior.

#m_ (norma) = -1 / -15.78 color (violeta) (~~ 0.015) #

Ara, només anem a encaixar tot en forma de pendent:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Mireu aquest gràfic interactiu per veure com es veu!

Espero que t'hagi ajudat:)