Què és el lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) a mesura que x s'apropa a 1 del costat dret?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

gràfic {x ^ (1 / (1-x)) -2,064, 4.095, -1.338, 1.74}

Bé, això seria molt més senzill si simplement el prenguéssim # ln # dels dos costats. Des de # x ^ (1 / (1-x)) # és continu en l’interval obert a la dreta de #1#, podem dir que:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Des de #ln (1) = 0 # i #(1 - 1) = 0#, això és de la forma #0/0# i la regla de L'Hopital s'aplica:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

I per suposat, # 1 / x # és continu des de cada costat de #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1

Com a resultat, el límit original és:

#color (blau) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = color (blau) (1 / e) #