Què poden aplicar les identitats polinomials més enllà dels simples polinomis?

Resposta:

Vegeu l’explicació d’uns exemples …

Explicació:

Una identitat polinòmica que es conrea sovint en diverses àrees és la identitat de diferència de quadrats:

# a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #

Ho trobem en el context de racionalitzar els denominadors.

Penseu en aquest exemple:

# 1 / (2 + sqrt (3)) #

# = (2-sqrt (3)) / ((2-sqrt (3)) (2 + sqrt (3))) #

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + color (vermell) (cancel·lar (color (negre) ((2) sqrt (3))) - color (vermell) (cancel·lar (color (negre)) (sqrt (3) (2)))) - (sqrt (3)) ^ 2) #

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2- (sqrt (3)) ^ 2)

# = (2-sqrt (3)) / (4-3) #

# = 2-sqrt (3) #

Reconeixent el patró de diferència de quadrats, podem perdre el pas:

# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + color (vermell) (cancel·lar (color (negre) ((2) sqrt (3))) - color (vermell) (cancel·lar (color (negre)) (sqrt (3) (2)))) - (sqrt (3)) ^ 2) #

O considereu aquest exemple amb petites funcions aritmètiques complexes i trigonomètriques:

# 1 / (cos theta + i sin theta) #

# = (cos theta - i sin theta) / ((cos theta - i sin theta) (cos theta + i sin theta)) #

# = (cos theta - i sin theta) / (cos ^ 2 theta - i ^ 2 sin ^ 2 theta) #

# = (cos theta - i sin theta) / (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) #

# = cos theta - i sin theta #

Per a un exemple d’ús en Càlcul, consulteu

A l’altre extrem de l’escala, aquesta identitat polinòmica és de vegades útil per a l’aritmètica mental. Per exemple:

#97 * 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991#