Quina és l’equació de la paràbola que té un vèrtex a (-4, 16) i passa pel punt (0,0)?

Resposta:

Resolim aquest problema substituint els dos punts per una equació paràbola: # ax ^ 2 + b x + c = i (x) #

Explicació:

• Primer de tot, substituïm #(0,0)#:

# ax ^ 2 + bx + c = i (x) rightarrow un cdot 0 ^ 2 + b cdot 0 + c = i (0) rightarrow c = 0 #

Així, obtenim el terme independent en l’equació, obtenint # ax ^ 2 + bx = y (x) #.

• Ara, substituïm el vèrtex, #(-4, 16)#. Obtenim:

#a cdot (-4) ^ 2 + b cdot (-4) = 16 rightarrow 16 a - 4 b = 16 rightarrow 4 a - b = 4 #

Ara tenim una relació entre # a # i # b #, però no els podem determinar de manera única. Necessitem una tercera condició.

• Per a qualsevol paràbola, el vèrtex es pot obtenir mitjançant:

#x_ "vèrtex" = {-b} / {2a} #

En el nostre cas:

#x_ "vèrtex" = -4 = {-b} / {2a} rightarrow b = 8 a #

• Finalment, hem de resoldre el sistema donat per:

# {4a-b = 4; b = 8a} #

Substitució # b # de la segona equació a la primera:

# 4a- (8a) = 4 rightarrow -4 a = 4 rightarrow a = -1 #

I finalment:

#b = -8 #

D'aquesta manera, l’equació de paràbola és:

#y (x) = -x ^ 2 - 8x #