Com es troba el volum de la regió tancada per les corbes y = x ^ 2 - 1 i y = 0 girada al voltant de la línia x = 5?

Resposta:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (i + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Explicació:

Per tal de calcular aquest volum, en cert sentit anem a tallar-lo en rodanxes (infinites).

Veiem la regió, per ajudar-nos en això, he inclòs el gràfic on la regió és la part que hi ha sota la corba. Ho notem # y = x ^ 2-1 # creua la línia # x = 5 # on # y = 24 # i que creua la línia # y = 0 # on # x = 1 # gràfic {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

En tallar aquesta regió en rodanxes horitzontals amb alçada # dy # (una alçada molt petita). La longitud d’aquestes franges depèn molt de la coordenada y. per calcular aquesta longitud cal conèixer la distància des d'un punt # (y, x) # a la linia # y = x ^ 2-1 # al punt (5, y). Per descomptat, això és # 5-x #, però volem saber de què depèn # y #. Des de # y = x ^ 2-1 #, sabem # x ^ 2 = y + 1 #, ja que ho tenim #x> 0 # per a la regió en què ens interessem, # x = sqrt (y + 1) #, per tant, aquesta distància depèn de # y #, que denotarem com #r (i) # es dóna per #r (i) = 5-sqrt (y + 1) #.

Ara girem aquesta regió # x = 5 #, això vol dir que cada tall es converteix en un cilindre amb una alçada # dy # i radi #r (i) #, per tant, un volum #pir (i) ^ 2dy #. Tot el que necessitem fer ara és sumar aquests volums infinitament petits mitjançant la integració. Ho notem # y # passa de #0# a #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (i) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (i + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (i-1) + i + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (i + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.