Com es troba el volum del sòlid generat girant la regió limitada per les corbes y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) girada al voltant de la y = 4?

Resposta:

# V = 685 / 32pi # unitats cúbiques

Explicació:

Primer, dibuixeu els gràfics.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-intercepta

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # I ho tenim # {(x = 0), (x = 1):}

Per tant, hi ha intercepcions #(0,0)# i #(1,0)#

Aconsegueix el vèrtex:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Així el vèrtex està a #(1/2,-1/4)#

Repetiu l’anterior:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # I ho tenim # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):}

Per tant, hi ha intercepcions # (sqrt (3), 0) # i # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Així el vèrtex està a #(0,3)#

Resultat:

Com aconseguir el volum? Farem servir el mètode de disc!

Aquest mètode és simplement que: # "Volum" = piint_a ^ per ^ 2dx #

La idea és senzilla, però has d’utilitzar-la de manera intel·ligent.

I això és el que farem.

Anomenem el nostre volum # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

Nota: Estic prenent # (4-y) # perquè # y # és només la distància des de la # x #-axi a la corba, mentre que volem la distància de la línia # y = 4 # a la corba!

Ara per trobar # a # i # b #, igualem # y_1 # i # y_2 # i després solucionar per # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = -1):}

Des de # a # arriba abans # b #, # => a = -1 # i # b = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Feu el mateix amb # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = color (blau) ((685pi) / 32) #