Quina és l'arrel quadrada de 89?

Resposta:

L’arrel quadrada de #89# és un nombre que quan el quadrat dóna #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Explicació:

Des de #89# és primer, #sqrt (89) # no es pot simplificar.

Es pot aproximar amb un mètode de Newton Raphson.

M'agrada reformular-la una mica de la següent manera:

Deixar #n = 89 # siga el número que vulgueu l’arrel quadrada de.

Trieu # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # i que # p_0 / q_0 # és una aproximació racional raonable. He triat aquests valors particulars des de #89# està a mig camí #9^2 = 81# i #10^2 = 100#.

Iterar mitjançant les fórmules:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Això donarà una millor aproximació racional.

Tan:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Així que si ens vam aturar aquí, aconseguiríem una aproximació:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Anem un pas més:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Així doncs, obtenim una aproximació:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Aquest mètode de Newton Raphson convergeix ràpidament.

#color (blanc) () #

En realitat, una aproximació simple bastant bona #sqrt (89) # és #500/53#, des de #500^2 = 250000# i #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Si apliquem un pas a aquesta iteració, obtindrem una aproximació millor:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#color (blanc) () #

Nota al peu

Totes les arrels quadrades dels nombres enters positius tenen repeticions continuades de fraccions continuades, que també podeu utilitzar per donar aproximacions racionals.

No obstant això, en el cas de #sqrt (89) # l'expansió continuada de les fraccions és una mica desordenada i no és tan agradable treballar amb:

#sqrt (89) = 9; barra (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))))

L’aproximació #500/53# a dalt és #9; 2, 3, 3, 2#