Què és la integral de e ^ (x ^ 3)?

No podeu expressar aquesta integral en termes de funcions elementals.

Depenent del que necessiteu la integració, podeu triar una forma d’integració o una altra.

Integració mitjançant sèries de potència

Recordeu-ho # e ^ x # és analítica #mathbb {R} #, tan #forall x a mathb {R} # la següent igualtat es manté

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!}

i això vol dir que

# e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!}

Ara podeu integrar:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (suma_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integració a través de la funció gamma incompleta

Primer, substitueix # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

La funció # e ^ {x ^ 3} # és continu. Això significa que les seves funcions primitives són #F: matbb {R} a mathb {R} # de tal manera que

#F (i) = c + int_0 ^ y i ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} i ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

i això està ben definit perquè la funció #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # és tal que per a #t a 0 # es manté #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, de manera que la integral incorrecta # int_0 ^ s f (t) dt # és finita (crido # s = -y ^ 3 #).

Així que teniu això

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Observa això #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Això significa que per a #t a + infty # ho aconseguim #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = i ^ {- t} #, i que # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Així que després d’una integral incorrecta de #f (t) # és finit:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

Podem escriure:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

això és

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ + infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Al final arribem

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #