Com s'utilitza la Prova Integral per determinar la convergència o la divergència de la sèrie: suma n e ^ -n de n = 1 a infinit?

Resposta:

Prengui la integral # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, que és finita, i nota que es limita #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Per tant, és convergent, per tant #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # també ho és.

Explicació:

La declaració formal de la prova integral indica que si #fin 0, oo) rightarrowRR # una funció monotona decreixent que no és negativa. Llavors la suma #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # és convergent si i només si # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # és finita. (Tau, Terence. Anàlisi I, segona edició. Agència de llibres Hindustan. 2009).

Aquesta declaració pot semblar una mica tècnica, però la idea és la següent. Prenent en aquest cas la funció #f (x) = xe ^ (- x) #, ho notem per a #x> 1 #, aquesta funció disminueix. Podem veure-ho prenent la derivada. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, des de #x> 1 #, tan # (1-x) <0 # i #e ^ (- x)> 0 #.

Degut a això, ho notem per a qualsevol #ninNN _ (> = 2) # i #x a 1, oo) # de tal manera que #x <= n # tenim #f (x)> = f (n) #. Per tant #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, tan #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # utilitzant la integració per parts i això #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Des de #f (x)> = 0 #, tenim # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, tan #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Des de #f (n)> = 0 #, les sèries #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # augmenta igual # N augmenta. Com està delimitada per # 3 / e #, ha de convergir. Per tant #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # convergeix.

Utilitzem la prova de línia vertical per determinar si alguna cosa és una funció, per què utilitzem una prova de línia horitzontal per a una funció inversa oposada a la prova de línia vertical?

Només fem servir la prova de línia horitzontal per determinar, si la inversa d’una funció és realment una funció. Heus aquí per què: primer heu de preguntar-vos què és la inversa d’una funció, és allà on es canvien x i y, o una funció simètrica a la funció original a través de la línia, y = x. Així doncs, sí, utilitzem la prova de línia vertical per determinar si alguna cosa és una funció. Què és una línia vertical? Bé, la seva equació és x = algun nombre, totes les línies on x &#

Com es pot determinar la convergència o la divergència de la seqüència an = ln (n ^ 2) / n?

La seqüència converge per trobar si la seqüència a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n convergeix, observem el que a_n és n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n usant la regla de l'Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Atès que lim_ (n-> oo) a_n és un valor finit, la seqüència convergeix.

Com puc trobar la convergència o la divergència d'aquesta sèrie? suma d’1 a infinitat d’1 / n ^ lnn

Converge Considerem la suma de sèries (n = 1) ^ o1 / n ^ p, on p> 1. Amb la prova p, aquesta sèrie convergeix. Ara, 1 / n ^ ln <1 / n ^ p per a tots els n suficientment grans, sempre que p sigui un valor finit. Així, per la prova de comparació directa, la suma (n = 1) ^ o1 / n ^ ln convergeix. De fet, el valor és aproximadament igual a 2.2381813.