Què és cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Resposta:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Explicació:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2)

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2)

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2)

Ara, utilitzant #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, obtenim,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2)

# = cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Resposta:

Per la fórmula de l'angle de suma, això és

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - pecat (arcsin (-1/2)) pecat (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

Explicació:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Aquestes preguntes són prou confuses amb la notació funky de la funció inversa. El veritable problema amb preguntes com aquesta és que en general és millor tractar les funcions inverses com a multivalència, la qual cosa pot significar que l’expressió també té múltiples valors.

També podem mirar el valor de # x # per al valor principal de les funcions inverses, però deixaré això als altres.

De totes maneres, aquest és el cosinus de la suma de dos angles, i això significa que fem servir la fórmula de l'angle de suma:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin un pecat b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - pecat (arcsin (-1/2)) pecat (arccos (5/13)) #

El cosinus de cosinus invers i el sinus de sinus invers és fàcil. El cosinus del sinus invers i el sinus del cosinus invers és també senzill, però hi ha el problema en què hi ha un problema multivalència.

Generalment hi haurà dos angles no coterminals que comparteixen un cosinus donat, negacions entre si, els sins del qual seran negacions entre si. Generalment hi haurà dos angles no coterminals que comparteixen un senyal donat, angles suplementaris, que tindran cosinus que són negacions entre si. Així doncs, ambdues maneres tenim un # pm #. La nostra equació tindrà dos # pm # i és important assenyalar que són independents, sense vincles.

Anem a prendre #arcsin (-1/2) # primer. Aquest és, naturalment, un dels clixés trigonomètics, # -30 ^ circ # o bé # -150 ^ circ #. Els cosinus seran # + sqrt {3} / 2 # i # - sqrt {3} / 2 # respectivament.

Realment no necessitem considerar l’angle. Podem pensar en el triangle recte amb 1 oposat i hipotenusa 2 i sorgir amb adjacent # sqrt {3} # i cosinus # pm sqrt {3} / 2 #. O si és que pensem massa, des de llavors # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # llavors #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # que mecànicament ens permet dir:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

De la mateixa manera, #5,12,13# és la triple pitagòrica emprada aquí

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #