La força aplicada contra un objecte que es mou horitzontalment en un camí lineal es descriu per F (x) = x ^ 2-3x + 3. En quant canvia l’energia cinètica de l’objecte quan l’objecte es mou des de x en [0, 1]?

Resposta:

Segona llei del moviment de Newton:

# F = m * a #

Definicions d’acceleració i velocitat:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Energia cinètica:

# K = m * u ^ 2/2 #

La resposta és:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Segona llei del moviment de Newton:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Substitució # a = (du) / dt # no ajuda amb l’equació, des de llavors # F # no es dóna com a funció de # t # però com a funció de # x # Malgrat això:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (del) / dx #

Però # (dx) / dt = u # tan:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Substituint l’equació que tenim, tenim una equació diferencial:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

Les dues velocitats són desconegudes però les posicions # x # es coneixen. A més, la massa és constant:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Però # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Nota: les unitats són # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # només si es donen les distàncies # (x a 0,1) # estan en metres.