Quins són els valors màxims i mínims que la funció f (x) = x / (1 + x ^ 2)?

Resposta:

Màxim: #1/2#

Mínim: #-1/2#

Explicació:

Un enfocament alternatiu és reorganitzar la funció en una equació quadràtica. Com això:

#f (x) = x / (1 + x ^ 2) rarrf (x) x ^ 2 + f (x) = xrarrf (x) x ^ 2-x + f (x) = 0 #

Deixar #f (x) = c "" # per fer-ho semblar més net:-)

# => cx ^ 2-x + c = 0 #

Recordem que per a totes les arrels reals d’aquesta equació, el discriminant és positiu o zero

Així que tenim, # (- 1) ^ 2-4 (c) (c)> = 0 "" => 4c ^ 2-1 <= 0 "" => (2c-1) (2c + 1) <= 0 #

És fàcil reconèixer-ho # -1 / 2 <= c <= 1/2 #

Per tant, # -1 / 2 <= f (x) <= 1/2 #

Això demostra que el màxim és #f (x) = 1/2 # i el mínim és #f (x) = 1/2 #

A continuació es mostra la gràfica de la funció f (x) = (x + 2) (x + 6). Quina afirmació sobre la funció és certa? La funció és positiva per a tots els valors reals de x on x> –4. La funció és negativa per a tots els valors reals de x on –6 <x <–2.

La funció és negativa per a tots els valors reals de x on –6 <x <–2.

Determineu els intervals d’augment i disminució màxims i / o mínims locals per a la funció f (x) = (x ^ 2 - 2x +2)?

F es redueix a (-oo, 1) i augmenta en [1, + oo), de manera que f té un min local i global en x_0 = 1, f (1) = 1 -> f (x)> = f (1) = 1> 0, xinRR f (x) = sqrt (x ^ 2-2x + 2), D_f = RR AAxinRR, f '(x) = ((x ^ 2-2x + 2)') / (2sqrt (x ^ 2-2x + 2) = (2x-2) / (2sqrt (x ^ 2-2x + 2) = (x-1) / (sqrt (x ^ 2-2x + 2) amb f '(x) = 0 <=> (x = 1) xin (-oo, 1), f '(x) <0, de manera que f disminueix en (-oo, 1] xin (1, + oo), f' (x)> 0 de manera que f augmenta en [1, + oo) f disminueix (-oo, 1) i augmenta en [1, + oo), de manera que f té un min local i global en x_0 = 1, f (1) = 1 - > f

Com es poden trobar els valors mínims absoluts i màxims absoluts de f a l'interval donat: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) a [-1, 5]?

Reqd. els valors extrems són -25/2 i 25/2. Utilitzem la substitució t = 5sinx, t en [-1,5]. Observeu que aquesta substitució és permissible, perquè, t en [-1,5] rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sx <= 5 rArr -1/5 <= sinx <= 1, que és bo, com diversitat de gamma de pecats. és [-1,1]. Ara, f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sxx * 5cosx = 25sxxcosx = 25/2 (2sxxcosx) = 25 / 2sin2x Des de, -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 Per tant, reqd. les extremitats són -25/2 i 25/2.