Com puc provar això? Estaria utilitzant un teorema d’anàlisi real?

# "Utilitzeu la definició de derivada:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Aquí tenim" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Hem de demostrar que"

#f '(x_0) = g' (x_0) #

# "o" #

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

# "o" #

#h '(x_0) = 0 #

# "amb" h (x) = f (x) - g (x) #

# "o" #

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

# "o" #

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(a causa de" f (x_0) = g (x_0) ")" #

# "Ara"

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "si" h> 0 "i" lim> = 0 "si" h <0 #

# "Hem pres la suposició que f i g són diferenciables"

# "així" h (x) = f (x) - g (x) "també és diferenciable",

# "de manera que el límit esquerre ha de ser igual al límit adequat,"

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Resposta:

Proporcionaré una solució més ràpida que la de http://socratic.org/s/aQZyW77G. Per això haurem de confiar en alguns resultats familiars del càlcul.

Explicació:

Definiu #h (x) = f (x) -g (x) #

Des de #f (x) el g (x) #, tenim #h (x) le 0 #

A # x = x_0 #, tenim #f (x_0) = g (x_0) #, i que #h (x_0) = 0 #

Per tant # x = x_0 # és un màxim de la funció diferenciable #h (x) # endins l’interval obert # (a, b) #. Per tant

#h ^ '(x_0) = 0 implica #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) implica #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #