Quina és l'arrel quadrada de 5?

L’arrel quadrada de #5# no es pot simplificar el pare del que ja és, així que aquí hi ha # sqrt5 # a deu posicions decimals:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Resposta:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # és un nombre irracional.

Explicació:

Tots els números positius normalment tenen dues arrels quadrades, positives i negatives de la mateixa mida. Denotem l’arrel quadrada positiva (a.k.a. principal) de # n # per #sqrt (n) #.

Una arrel quadrada d'un nombre # n # és un nombre # x # de tal manera que # x ^ 2 = n #. Així que si # x ^ 2 = n # llavors també # (- x) ^ 2 = n #.

No obstant això, l'ús popular és que "l'arrel quadrada" es refereix a la positiva.

Suposem que tenim un nombre positiu # x # que satisfà:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

A continuació, multipliqueu els dos costats per # (2 + x) # obtenim:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

A continuació, restant # 2x # des dels dos costats obtenim:

# x ^ 2 = 5 #

Així que hem trobat:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (blanc) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))))

Sempre que no finalitzi aquesta fracció continuada, podem dir-ho #sqrt (5) # no es pot representar com una fracció final, és a dir, un nombre racional. Tan #sqrt (5) # és un nombre irracional una mica menor que #2 1/4 = 9/4#. Per a aproximacions racionals millors es pot acabar la fracció continuada després de més termes.

Per exemple:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

L’embalatge d'aquestes fraccions continuades pot ser una mica tediós, de manera que en general prefereixo utilitzar un mètode diferent, és a dir, la relació limitant d’una seqüència sencera definida recursivament.

Definiu una seqüència mitjançant:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):}

Els primers termes són:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

La relació entre termes tendeix a # 2 + sqrt (5) #.

Així que trobem:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #