Permutació de la loteria?

Resposta:

Mirar abaix:

Explicació:

Amb una permutació, l’ordre dels dibuixos importa. Com que estem buscant sorteigs amb substitució, cada dígit té una #1/10# probabilitat de ser dibuixat. Això significa, doncs, per a cadascuna de les seleccions, tenim un:

# 1 / 10xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 = 1 / (10.000) =.

probabilitat d’establir el nostre nombre.

Si, però, la pregunta és dir que amb els quatre números dibuixats es poden reordenar en qualsevol permutació, de què parlem realment són combinacions (on l'ordre del sorteig no importa). Aquestes combinacions es fan de nou amb substitució i, per tant, hem de mirar cada cas per separat.

a

Hi ha un #4/10# probabilitat de dibuixar els 6, 7, 8 o 9 en el primer sorteig. Llavors a #3/10# probabilitat de dibuixar un dels 3 números restants en el segon sorteig. Etcètera. Això dóna:

# 4 / 10xx3 / 10xx2 / 10xx1 / 10 = (4!) / 10 ^ 4 = 24 / (10.000) =..

b

Hi ha un #3/10# probabilitat de dibuixar un 6,7 o un 8 al primer sorteig:

# 3 / 10xx (…) #

Si traiem un 8 al primer sorteig (i hi ha un 50% de probabilitats de fer-ho), el segon, el tercer i el quart tiraran a probabilitats de # 3/10, 2/10 i 1/10 #.

No obstant això, l’altre 50% del temps dibuixarem el 6 o el 7. Si ho fem, haurem de buscar una mica més per al nostre càlcul:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) +1/2 (…)) #

Amb el segon sorteig (després de dibuixar un 6 o un 7), podem dibuixar un 8 (que passarà #2/3# de l’època) o l’altre no 8 (que passarà l’altre) #1/3#).

Si dibuixés un 8, el tercer i el quart tirades seran a probabilitats de # 2/10 i 1/10 #. Tanmateix, si dibuixem l’altre nombre que no sigui el 8, hem de fer una mica més de treball:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx (…)))) #

Per al tercer i el quart sorteig i només resten 8, hi ha un #1/10# probabilitat de dibuixar-la com un tercer i un quart nombre:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx (1 / 10xx1 / 10)))) #

Avaluem:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx1 / 100))) #

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (4/300 + 1/300)) #

# 3 / 10xx (1 / 2xx (6/1000) +5/600) #

# 3 / 10xx (6/2000 + 5/600) #

# 3 / 10xx (18/6000 + 50/6000) #

# 3 / 10xx68 / 6000 = 68/20000 = 34/10000 =.34% #

c

Hi ha un #2/10# probabilitat de dibuixar un 7 o un 8:

# 2 / 10xx (…) #

Si traiem un 7 (50% de probabilitat), al segon sorteig si dibuixem un 8 (#2/3# oportunitat), el tercer i el quart sorteig estaran a # 2/10 i 1/10 # probabilitats. Tenim la mateixa situació si donem la volta al disquet 7 per a 8 i 8 per a 7. I així:

# 2 / 10xx (2xx1 / 2xx2 / 3xx2 / 10xx1 / 10 + …) #

Si traiem un 7 tant en el primer com en el segon (#1/3# l’atzar), només podem dibuixar 8 per al tercer i el quart sorteig. Una vegada més, això és cert si dibuixem 8 en el primer i el segon sorteigs; només podem dibuixar 7 per al tercer i el quart sorteig:

# 2 / 10xx (2xx1 / 2xx2 / 3xx2 / 10xx1 / 10 + 2xx1 / 2xx1 / 3xx1 / 10xx1 / 10) #

I avaluar:

# 2 / 10xx (4/300 + 1/300) = 10/3000 = 0.bar3% #

d

En el primer sorteig, només podem dibuixar un 7 o 8, amb una probabilitat de #2/10#:

# 2 / 10xx (…) #

Si dibuixem un 7 (a #1/4# cas), només podem dibuixar 8 per al segon, tercer i quart tiratge.

Si traiem un 8, hem de mirar més endavant:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx …) #

En el segon sorteig (després del primer sorteig d’un 8), podem dibuixar un 7 o un 8.

Si traiem un 7 (#1/3# cas), el tercer i el quart sorteig han de ser de vuit.

Si dibuixéssim un 8, el tercer i el quart tiraran # 2/10 i 1/10 #:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx (1 / 3xx1 / 10xx1 / 10 + 2 / 3xx2 / 10xx1 / 10)) #

Avaluem:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx (1/300 + 4/300)) #

# 2 / 10xx (1/4000 + 5/400) #

# 2 / 10xx51 / 4000 = 51/20000 =.255% #