Què és la sèrie de Taylor de f (x) = arctan (x)?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Vegem alguns detalls.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Recordeu que la sèrie de potències geomètriques

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

substituint # x # per # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Tan, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

En integrar, #f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

posant el signe integral dins de la suma, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

per Power Rule, # = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

Des de #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

Per tant, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

El terme r _ ("th") d'una sèrie geomètrica és (2r + 1) cdot 2 ^ r. Què significa la suma del primer terme n de la sèrie?

(4n-2) * 2 ^ n + 3 S = sum_ {r = 0} ^ n 2r * 2 ^ r + suma_ {r = 0} ^ n 2 ^ r S = sum_ {r = 1} ^ nr * 2 ^ (r + 1) + (1 - 2 ^ {n + 1}) / (1 - 2) S = a_ {01} (1 - 2 ^ n) / (1- 2) + ... + a_ { 0n} (1 - 2 ^ {n- (n-1)}) / (1- 2) + 2 ^ {n + 1} - 1 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 4 S = sum_ {i = 0} ^ {n-1} 2 ^ {i + 2} (2 ^ (n - i) - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 sum_ {i = 0} ^ {n-1} (2 ^ n - 2 ^ i) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = 4 * 2 ^ n * n - 4 * (2 ^ n - 1) + 2 ^ {n + 1} - 1 S = (4n-2) * 2 ^ n + 3 verificem S = 1 * 2 ^ 0 + 3 * 2 ^ 1 + 5 * 2 ^ 2 + 7 * 2 ^ 3 + cdots S = 1 + 6 + 20 + 56 + cdots S (0) = 1 =

El segon i el cinquè terme d’una sèrie geomètrica són 750 i -6, respectivament. Trobeu la relació comuna i el primer terme de la sèrie?

R = -1 / 5, a_1 = -3750 El color (blau) "nè terme d’una seqüència geomètrica" és. color (vermell) (barra (ul (| color (blanc) (2/2) color (negre) (a_n = ar ^ (n-1)) color (blanc) (2/2) |)) on a és el primer terme i r, la relació comuna. rArr "segon terme" = ar ^ 1 = 750to (1) rArr "cinquè terme" = ar ^ 4 = -6to (2) Per trobar r, dividiu (2) per (1) rArr (cancel·leu (a) r ^ 4 ) / (cancel·la (a) r) = (- 6) / 750 rArrr ^ 3 = -1 / 125rArrr = -1 / 5 Substituïu aquest valor a (1) per trobar un rArraxx-1/5 = 750 rArra = 750 / (-1/5) = - 3750

U_1, u_2, u_3, ... estan en progressió geomètrica (GP). La relació comuna dels termes de la sèrie és K.Ara determinem la suma de la sèrie u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) en forma de K i u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) El terme general d'una progressió geomètrica es pot escriure: a_k = ar ^ (k-1) on a és el terme inicial i r la relació comuna. La suma a n termes es dóna per la fórmula: s_n = (un (1-r ^ n)) / (1-r) color (blanc) () Amb la informació donada a la pregunta, la fórmula general de u_k pot ser escrit: u_k = u_1 K ^ (k-1) Tingueu en compte que: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) so: sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) color (blanc) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u