Què són els quaternions?

Resposta:

Una mena de nombre pel qual la multiplicació no és generalment commutativa.

Explicació:

Números reals (# RR #) es pot representar per una línia: un espai unidimensional.

Nombres complexos (# CC #) es pot representar mitjançant un pla - un espai bidimensional.

Quaternions (H) es pot representar per un espai de quatre dimensions.

En números aritmètics ordinaris es compleixen les següents regles:

Addició

Identitat: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = un #

Invers: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Associativitat: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Commutativitat: #AA a, b: a + b = b + a #

Multiplicació

Identitat: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = un #

Inversa de no-zero: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Associativitat: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Commutativitat: #color (vermell) (AA a, b: a * b = b * a) #

Junts

Distribució: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):}

#color (blanc) () #

Aquestes regles funcionen per al conjunt de nombres racionals # QQ #, el conjunt de nombres reals # RR # i els números complexos # CC # i definiu el que es diu a camp - Un conjunt equipat amb operacions d'addició i multiplicació que compleixin aquestes regles.

Quaternions (H) són el que es diu a camp de inclinació o bé àlgebra de divisió associativa - Un conjunt equipat amb operacions d'addició i multiplicació que satisfan totes aquestes condicions, excepte la commutativitat de la multiplicació.

Ser també un #4# espai vectorial dimensional sobre els reals, són l’àlgebra de divisió associativa més gran sobre els reals, els únics dos són # RR # i # CC #.

A més de l’eix real, s’anomena les unitats dels altres tres eixos # i #, # j # i # k #. Tots són arrels quadrades de #-1#.

Aquestes tres unitats imaginàries compleixen les condicions següents:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Es poden representar els quaderns # 2xx2 # matrius amb valors complexos o per # 4xx4 # matrius amb valors reals.

Tenen aplicacions en mecànica i física teòrica.

#color (blanc) () #

Nota al peu

Tingueu en compte que he dit associatiu àlgebra de divisió. Més enllà dels Quaternions hi ha les octonions encara més estranyes que obliguen el requisit que la multiplicació sigui associativa.