La funció 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 és màxim, mínims o punt d'inflexió?

Resposta:

No hi ha cap mínim o màxim
Punt d’infecció a #x = -2 / 3 #.

gràfic {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Explicació:

Mins i Maxes

Per a un determinat # x #-valor (anomenem-ho # c #) per ser un màxim o mínim per a una funció determinada, ha de satisfer el següent:

#f '(c) = 0 # o indefinit.

Aquests valors de # c # també s’anomenen els vostres punts crítics.

Nota: No tots els punts crítics són max / min, però tots els màxims / min són punts crítics

Per tant, els trobem per a la vostra funció:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Això no comporta, així que provem la fórmula quadràtica:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) ((2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… i podem parar aquí mateix. Com podeu veure, acabem tenint un nombre negatiu sota l’arrel quadrada. Per tant, hi ha no hi ha punts crítics reals per a aquesta funció.

Punts d'inflexió

Ara, anem a trobar punts d'inflexió. Són punts on el gràfic té un canvi en la concavitat (o curvatura). Per un punt (crida-ho # c #) per ser un punt d’inflexió, ha de complir el següent:

#f '' (c) = 0 #.

Nota: No tots aquests punts són punts d'inflexió, però tots els punts d'inflexió han de satisfer això.

Així que anem a trobar:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0)

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Ara, hem de comprovar si en realitat es tracta d’un punt d’inflexió. Així que haurem de verificar-ho #f '' (x) # de fet canvia el signe a #x = -2 / 3 #.

Així que anem a provar valors a la dreta i esquerra de #x = -2 / 3 #:

Dret:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Esquerra:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

No ens importa tant com són els valors reals, però, com podem veure clarament, hi ha un nombre positiu a la dreta de #x = -2 / 3 #, i un nombre negatiu a l’esquerra de #x = -2 / 3 #. Per tant, és realment un punt d'inflexió.

Resumir, #f (x) # no té punts crítics (o mins o maxes), però té un punt d’inflexió a #x = -2 / 3 #.

Fem una ullada al gràfic de #f (x) # i mireu què signifiquen aquests resultats:

gràfic {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Aquest gràfic augmenta a tot arreu, de manera que no té cap lloc on la derivada = 0. Tanmateix, passa de la corba cap avall (còncava cap avall) a la corba cap amunt (còncau cap amunt) a #x = -2 / 3 #.

Espero que t'hagi ajudat:)