Com es troba l’extrema per a g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Resposta:

#g (x) # no té un mínim global i local mínim # x = -1 #

Explicació:

Tingues en compte que:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Així que la funció

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

està definit per a tots els usuaris #x a RR #.

A més, com #f (y) = sqrty # és una funció creixent monòtona, llavors qualsevol extrem per a #g (x) # és també un extrem per:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Però es tracta d’un polinomi de segon ordre amb coeficient positiu capdavanter, per tant no té un mínim local ni un mínim.

Des de #(1)# podem veure fàcilment que:

# (x + 1) ^ 2> = 0

i:

# x + 1 = 0 #

només quan # x = -1 #, llavors:

#f (x)> = 4 #

i

#f (x) = 4 #

només per # x = -1 #.

Conseqüentment:

#g (x)> = 2 #

i:

#g (x) = 2 #

només per # x = -1 #.

Podem concloure això #g (x) # no té un mínim global i local mínim # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, # x ## in ## RR #

Necessitem # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ## x ## in ## RR #:

#g '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#g '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• Per #x <-1 # tenim #g '(x) <0 # tan # g # és estrictament decreixent # (- oo, -1 #

• Per #x> ##-1# tenim #g '(x)> 0 # tan # g # és estrictament creixent a # - 1, + oo) #

Per tant #g (x)> = g (-1) = 2> 0, # AA ## x ## in ## RR #

Com a resultat # g # té un mínim global a # x_0 = -1 #, #g (-1) = 2 #