Com s'integren int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) utilitzant fraccions parcials?

$Com s'integren int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) utilitzant fraccions parcials?$

Resposta:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Explicació:

Configureu l’equació per resoldre les variables A, B, C

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x +1) ^ 2) dx #

Resolim primer A, B, C

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (x-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1))) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Simplifica

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2)

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

Reorganitzeu els termes del costat dret

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x +1) ^ 2) #

establim les equacions per resoldre per A, B, C fent coincidir els coeficients numèrics de termes esquerra i dreta

# A + B = 4 "" #primera equació

# 2A + C = 6 "" # #segona equació

# A-B-C = -2 "" #tercera equació

Solució simultània amb resultats de segona i tercera equació a

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #quarta equació

Utilitzant ara la primera i la quarta equació

# 3A-B = 4 "" #quarta equació

# 3 (4-B) -B = 4 "" #quarta equació

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = -8 #

# B = 2 #

Solucioneu l’ús d’A # 3A-B = 4 "" #quarta equació

# 3A-2 = 4 "" #quarta equació

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Solucioneu C utilitzant el # 2A + C = 6 "" # #segona equació i # A = 2 # i # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" # #segona equació

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Ara realitzem la nostra integració

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x +1) ^ 2) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x +1) ^ (- 2)) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + Co#

Déu beneeixi ….. espero que l’explicació sigui útil.

Com s'integren int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) utilitzant fraccions parcials?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Necessitem trobar A, B, C tal que 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) per a tots els x. Multiplica els dos costats per x ^ 2 (2x-1) per obtenir 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Els coeficients d'equivalència ens donen {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} I per tant tenim A = -2, B = -1, C = 4. Substituint-ho en l’equació inicial, obtenim 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Ara, integrem-lo com a terme int (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx per obtenir 2ln | 2x-1 | -2ln | x |

Com s'integren int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) utilitzant fraccions parcials?

Cal descompondre (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) com a fracció parcial. Busqueu a, b, c en RR de tal manera que (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Us mostraré com trobar un únic, ja que b i c es troben de la mateixa manera. Es multipliquen els dos costats per x + 3, això farà que desaparegui del denominador del costat esquerre i faci que aparegui al costat de b i c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) si i / o (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Valoreu això a x-3 per tal de fer q

Com s'integren int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) utilitzant fraccions parcials?

= int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x