Quina és l’arclength de r = 4theta a theta a [-pi / 4, pi]?

Resposta:

#approx 27.879 #

Explicació:

Aquest és un mètode d'esquema. La mescla d’una part del treball s’ha realitzat per ordinador.

Longitud de l’arc #s = int punt s

i #dot s = sqrt (vec v * vec v) #

Ara, per #vec r = 4 theta

#vec v = punt r hat r + r punt theta hat

# = 4 punts theta bar r + 4 theta punt theta

# = 4 punts theta (hat r + theta hat theta) #

Tan #dot s = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) #

Longitud de l’arc #s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2) punt theta

# = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2)

# = 2 sqrt sql (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta _ (- pi / 4) ^ (pi) # solució informàtica. Vegeu Youtube enllaçat aquí per al mètode

#approx 27.879 # solució informàtica

Trobeu el valor de theta, si, Cos (theta) / 1 - sin (theta) + cos (theta) / 1 + sin (theta) = 4?

Theta = pi / 3 o 60 ^ @ bé. Tenim: costheta / (1-sintheta) + costheta / (1 + sintheta) = 4 Ara ignorarem el RHS. costheta / (1-sintheta) + costheta / (1 + sintheta) (costheta (1 + sintheta) + costheta (1-sintheta)) / ((1-sintheta) (1 + sintheta)) (costheta ((1-sintheta) ) + (1 + sintheta))) / (1-sin ^ 2theta) (costheta (1-sintheta + 1 + sintheta)) / (1-sin ^ 2theta) (2costheta) / (1-sin ^ 2theta) Segons la identitat pitagòrica, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1. Així: cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2theta Ara que sabem que, podem escriure: (2costheta) / cos ^ 2theta 2 / costheta = 4 costheta / 2 = 1/4 costheta = 1/2 t

Mostrar que, (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Si us plau mireu més a baix. Sigui 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), aquí r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) i tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) o alpha = theta / 2 llavors 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) i podem escriure (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n usant el teorema de DE MOivre com r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r

Si pecat theta + cos theta = p, què és sin ^ 2 theta + cos ^ 4theta en termes de p?

1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2 (sintheta + costheta) ^ 2 = 1 + 2sinthetacostheta = p ^ 2 així que sinthetacostheta = (p ^ 2-1) / 2 ara sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = sin ^ 2theta + (1-sin ^ 2theta) cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2etetacs ^ 2eta i posant tots junts sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = 1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2