Diguem que K i L són dos espais vectorials reals del subespai V diferents. Si es dóna dim (K) = dim (L) = 4, com és possible determinar les dimensions mínimes és possible per V?

Resposta:

5

Explicació:

Deixem els quatre vectors # k_1, k_2, k_3 # i # k_4 # formen una base de l’espai vectorial # K #. Des de # K # és un subespai de # V #, aquests quatre vectors formen un conjunt independent linealment # V #. Des de # L # és un subespai de # V # diferent de # K #, ha d’haver almenys un element, per exemple # l_1 # in # L #, que no hi és # K #, és a dir, que no és una combinació lineal de # k_1, k_2, k_3 # i # k_4 #.

Així, el conjunt # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # és un conjunt lineal de vectors independents en # V #. Així, la dimensionalitat de # V # té almenys 5!

De fet, és possible per l’interval de # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # ser l’espai vectorial complet # V # - de manera que el nombre mínim de vectors de base sigui 5.

Com a exemple, anem # V # ser # RR ^ 5 # i ho deixem # K # i # V # consisteix en vectors de les formes

# ((alfa), (beta), (gamma), (delta), (0)) # i # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

És fàcil veure que els vectors

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#i #((0),(0),(0),(0),(0))#

formen una base de # K #. Afegiu el vector #((0),(0),(0),(0),(0))#, i obtindreu una base per a tot l’espai vectorial