Què són els extrems i els punts de selecció de f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Resposta:

# {: ("Punt crític", "Conclusió"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "cadira"), ((-1,2), "cadira "), ((-5 / 3,0)," max "):}

Explicació:

La teoria per identificar l'extrem de # z = f (x, y) # és:

Resoldre simultàniament les equacions crítiques

# (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial i) = 0 (és a dir # z_x = z_y = 0 #)
Avaluar #f_ (x x), f_ (yy) i f_ (xy) (= f_ (yx)) # en cadascun d’aquests punts crítics. Per tant, avaluar # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # en cadascun d’aquests punts
Determineu la naturalesa de l’extrema;

# {: (Delta> 0, "Hi ha mínim si" f_ (xx) <0), (, "i un màxim si" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "hi ha un punt de selle"), (Delta = 0, "Es necessita una anàlisi addicional"):}

Així que tenim:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Trobem les primeres derivades parcials:

# (parcial f) / (parcial x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (parcial f) / (parcial i) = 2xy + 2y #

Per tant, les nostres equacions crítiques són:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

A partir de la segona equació tenim:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # a la primera equació i obtenim:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # a la primera equació i obtenim:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

I així ho tenim quatre punts crítics amb coordenades;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Així doncs, mirem ara les segones derivades parcials perquè puguem determinar la naturalesa dels punts crítics:

(parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) = 12x + 10

(parcial ^ 2f) / (parcial i ^ 2) = 2x + 2

# (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial) = 2 (parcial ^ 2f) / (parcial i parcial x)) #

I hem de calcular:

# Delta = (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) (parcial ^ 2f) / (parcial i ^ 2) - ((parcial ^ 2f) / (parcial x parcial)) ^ 2 #

en cada punt crític. Els segons valors derivats parcials, # Delta #, i la conclusió són les següents:

# {: ("Punt crític", (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial i ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial), Delta, "Conclusió"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "selle"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "selle"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):}

Podem veure aquests punts crítics si observem un gràfic en 3D: