Quin és el vector unitari normal del pla que conté (i + k) i (i - 2 j + 3 k)?

Resposta:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #

Explicació:

Un vector que és normal (ortogonal, perpendicular) a un pla que conté dos vectors és també normal en tots dos vectors donats. Podem trobar el vector normal prenent el producte creuat dels dos vectors donats. A continuació, podem trobar un vector unitari en la mateixa direcció que aquest vector.

Primer, escriviu cada vector en forma de vector:

# veca = <1,0,1> #

# vecb = <1, -2,3> #

El producte creuat, # vecaxxvecb # es troba per:

# vecaxxvecb = abs ((veci, vecj, veck), (1,0,1), (1, -2,3)) #

Per al i component, tenim:

#(0*3)-(-2*1)=0-(-2)=2#

Per al j component, tenim:

#-(1*3)-(1*1)=-3-1=-2#

Per al k component, tenim:

#(1*-2)-(0*1)=-2-0=-2#

Per tant, # vecn = <2, -2, -2> #

Ara, per fer d’aquest un vector unitari, dividim el vector per la seva magnitud. La magnitud es dóna per:

# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt ((2) ^ 2 + (- 2) ^ 2 + (- 2) ^ 2) #

# | vecn | = sqrt (4 + 4 + 4) = sqrt (12) = 2sqrt3 #

El vector unitari es dóna llavors per:

# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #

#vecu = (<2, -2, -2>) / (2sqrt (3)) #

# vecu = <2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3)), - 2 / (2sqrt (3))> #

# vecu = <1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3), - 1 / sqrt (3)> #

Racionalitzant el denominador, obtenim:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3, - (sqrt (3)) / 3> #