Resposta:
Explicació:
Un vector que és normal (ortogonal, perpendicular) a un pla que conté dos vectors és també normal en tots dos vectors donats. Podem trobar el vector normal prenent el producte creuat dels dos vectors donats. A continuació, podem trobar un vector unitari en la mateixa direcció que aquest vector.
Primer, escriviu cada vector en forma de vector:
# veca = <2, -3,1> #
# vecb = <2,1, -3> #
El producte creuat,
# vecaxxvecb = abs ((veci, vecj, veck), (2, -3,1), (2,1, -3))
Per al i component, tenim:
#(-3*-3)-(1*1)=9-(1)=8#
Per al j component, tenim:
#-(2*-3)-(2*1)=--6-2=8#
Per al k component, tenim:
#(2*1)-(-3*2)=2-(-6)=8#
Per tant,
Ara, per fer d’aquest un vector unitari, dividim el vector per la seva magnitud. La magnitud es dóna per:
# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #
# | vecn | = sqrt ((8) ^ 2 + (8) ^ 2 + (8) ^ 2) #
# | vecn | = sqrt (64 + 64 + 64) = sqrt (192) = 8sqrt3 #
El vector unitari es dóna llavors per:
# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #
#vecu = (<8,8,8>) / (8sqrt (3)) #
# vecu = <1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3))> #
Racionalitzant el denominador, obtenim:
Quin és el vector unitari normal del pla que conté <1,1,1> i <2,0, -1>?
El vector unitari és = 1 / sqrt14 〈-1,3, -2〉 Cal fer el producte creuat dels dos vectors per obtenir un vector perpendicular al pla: el producte creuat és el deteminat de ((veci, vecj, veck), (1,1,1), (2,0, -1)) = veci (-1) -vecj (-1-2) + veck (-2) = 〈- 1,3, -2 〉 Comprovem els productes de punt. , -1,3, -2〉. 〈1,1,1〉 = - 1 + 3-2 = 0 〈-1,3, -2〉. 〈2,0, -1〉 = - 2 + 0 + 2 = 0 A mesura que els productes de punts són = 0, conclouem que el vector és perpendicular al pla. vecv = sqrt (1 + 9 + 4) = sqrt14 El vector unitat és hatv = vecv / ( vecv ) = 1 / sqrt14 〈-1,3, -2
Quin és el vector unitari normal del pla que conté 3i + 7j-2k i 8i + 2j + 9k?
El vector unitari normal al pla és (1 / 94.01) (67hati-43hatj + 50hatk). Considerem vecA = 3hati + 7hatj-2hatk, vecB = 8hati + 2hatj + 9hatk El normal al pla vecA, vecB no és més que el vector perpendicular, és a dir, producte creuat de vecA, vecB. => vecAxxvecB = hati (63 + 4) -hatj (27 + 16) + hatk (6-56) = 67hati-43hatj + 50hatk. El vector unitari normal al pla és + - [vecAxxvecB // (| vecAxxvecB |)] Així | vecAxxvecB | = sqrt [(67) ^ 2 + (- 43) ^ 2 + (50) ^ 2] = sqrt8838 = 94,01 ~~ 94 Ara substituïu tots els que es troben a l'equació anterior, obtenim un vector d'unita
Quin és el vector unitari normal del pla que conté (- 3 i + j -k) i (2i - 3 j + k)?
= (-2 hat i + hat j + 7 hat k) / (3 sqrt (6)) ho farem calculant el producte creuat vectorial d'aquests 2 vectors per obtenir el vector normal de manera que vec n = (- 3 i + j -k) vegades (2i - 3 j + k) = det [(hat i, hat j, hat k), (-3,1, -1), (2, -3,1)] = hat i (1 * 1 - (-3 * -1)) - barret j (-3 * 1 - (-1 * 2)) + barret k (-3 * -3 - 2 * 1)) = -2 barret i + hat j + 7 hat k la unitat normal és hat n = (-2 hat i + hat j + 7 hat k) / (sqrt ((- 2) ^ 2 + 1 ^ 2 + 7 ^ 2)) = (-2 hat i + hat j + 7 hat k) / (3 sqrt (6)) es podria comprovar fent un producte escalar de punts entre el vector normal i cadascun dels vectors ori