Què és l’arrel de cub de (sqrt3 -i)?

Començaria convertint el nombre en forma trigonomètrica:

# z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + isin (-pi / 6) #

L’arrel cúbic d’aquest número es pot escriure com:

# z ^ (1/3) #

Ara, amb això en ment, faig servir la fórmula per al nè poder d’un nombre complex en forma trigonomètrica:

# z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + isin (ntheta) # donar:

# z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + isin (-pi / 18) #

La qual cosa en rectangular és: # 4.2-0.7i

No puc estar totalment d'acord amb la resposta de Gió, perquè és incompleta i també (formalment) incorrecta.

L’error formal està en l’ús de La fórmula de De Moivre amb exponents no sencers. La fórmula de De Moivre només es pot aplicar als exponents sencers. Més detalls a la pàgina de Wikipedia

Hi trobareu una extensió parcial de la fórmula, per tractar-la # n #-es arrels (implica un paràmetre extra) # k #): si # z = r (cos theta + i sin theta) #, llavors

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((teta + 2 k pi) / n)) # on # k = 0, …, n-1 #.

Un (i en cert sentit) el) la propietat molt fonamental dels nombres complexos és aquella # n #les arrels tenen … # n # arrels (solucions)! El paràmetre # k # (que varia entre #0# i # n-1 #, tan # n # valors) ens permet resumir-los en una sola fórmula.

Les arrels del cub tenen, doncs, tres solucions i no n'hi ha prou de trobar-ne un: només "#1/3# de la solució ".

Escric la meva proposta de solució a continuació. Els comentaris són benvinguts.

Com va suggerir Gió correctament, el primer pas és expressar # z = sqrt {3} -i # en la seva forma trigonomètrica #r (cos theta + i sin theta) # #. Quan es tracta d’arrels, la forma trigonomètrica és (gairebé) sempre una eina útil (juntament amb la exponencial). Tens:

# r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (i / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Tan # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Ara voleu calcular les arrels. Per la fórmula esmentada anteriorment, obtenim:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((teta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3))

on # k = 0, 1, 2 #. Així, hi ha tres valors diferents de # k # (#0#, #1# i #2#) que donen lloc a tres arrels complexes de diferents # z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# z_0 #, # z_1 # i # z_2 # són les tres solucions.

La interpretació geomètrica de la fórmula per al # n # les arrels és molt útil per dibuixar les solucions en el pla complex. També la trama assenyala molt bé les propietats de la fórmula.

En primer lloc, podem observar que totes les solucions tenen la mateixa distància # r ^ {1 / n} # (en el nostre exemple #2^{1/3}#) de l’origen. Així que tots es troben en una circumferència de radi # r ^ {1 / n} #. Ara hem de destacar on per situar-los en aquesta circumferència. Podem reescriure els arguments de sinus i cosinus de la següent manera:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

La "primera" arrel correspon a # k = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

D'això es poden obtenir totes les altres arrels afegint l'angle # (2pi) / n # recursivament a l’angle # theta / n # relativa a la primera arrel # z_0 #. Així que ens movem # z_0 # en la circumferència per una rotació de # (2pi) / n # radians (# (360 °) / n #). Així, els punts es troben en els vèrtexs d’un regular # n #-gon. Donat un d’ells, podem trobar els altres.

En el nostre cas:

on l’angle blau és # theta / n = -pi / 18 # i el magenta és # (2pi) / n = 2/3 pi #.