Sigui vec (x) un vector, tal que vec (x) = ( 1, 1), "i deixeu que" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], això sigui, la rotació Operador. Per a theta = 3 / 4pi trobeu vec (y) = R (theta) vec (x)? Feu un esbós que mostri x, y i θ?

Això resulta ser una rotació en sentit antihorari. Es pot endevinar per quants graus?

Deixar #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # ser una transformació lineal, on

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>.

Tingueu en compte que aquesta transformació va ser representada com a matriu de transformació #R (theta) #.

El que significa és des de # R # és la matriu de rotació que representa la transformació rotacional, es pot multiplicar # R # per # vecx # per aconseguir aquesta transformació.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

Per a un # MxxK # i # KxxN # matriu, el resultat és un #color (verd) (MxxN) # matriu, on? # M # és el fila dimensió i # N és el columna dimensió. Això és:

# (y_ (11), y_ (12), …,, y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22),…, y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots), vdots), (y_ (m1), y_ (m2),…, y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12),…, R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22),…, R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2),…, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12), …,, x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22), …,, x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2), …,, x_ (kn)) #

Per tant, per a # 2xx2 # matriu multiplicada per a # 1xx2 #, hem de transposar el vector per obtenir un # 2xx1 # vector de columna, que ens dóna una resposta que és un # phbf (2xx1) # vector de columna.

Multiplicant aquests dos es dóna:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

A continuació, podem connectar #theta = (3pi) / 4 # (que suposo que és l’angle correcte) per obtenir:

#color (blau) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) # #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2))

# = color (blau) ((0), (- sqrt2) #

Ara, anem a dibuixar això per veure com es veu. Puc dir que és un rotació en sentit antihorari, després de determinar el vector transformat.

De fet, una rotació en sentit antihorari de #135^@#.

REPTE: Potser podeu considerar què passa quan la matriu és # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # en el seu lloc. Creu que serà en sentit horari?