Demostreu el següent?

Resposta:

Comproveu a continuació.

Explicació:

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0 #<=>#

# int_1 ^ 2 ((i ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (1) dx # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> x _1 ^ 2 # #<=># #<=>#

# int_1 ^ 2 ((i ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 2-1 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((i ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1

Hem de demostrar-ho

# int_1 ^ 2 ((i ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1

Penseu en una funció #f (x) = e ^ x-lnx #, #x> 0 #

Des del gràfic de # C_f # ho notem #x> 0 #

tenim # e ^ x-lnx> 2 #

Explicació:

#f (x) = e ^ x-lnx #, # x ## in ##1/2,1#

#f '(x) = e ^ x-1 / x #

#f '(1/2) = sqrte-2 <0 #

#f '(1) = e-1> 0 #

Segons el teorema de Bolzano (valor intermedi) tenim #f '(x_0) = 0 # #<=># # e ^ (x_0) -1 / x_0 = 0 # #<=>#

# e ^ (x_0) = 1 / x_0 # #<=># # x_0 = -lnx_0 #

La distància vertical està entre # e ^ x # i # lnx # és mínim quan #f (x_0) = e ^ (x_0) -lnx_0 = x_0 + 1 / x_0 #

Hem de demostrar-ho #f (x)> 2 #, # AAx ##>0#

#f (x)> 2 # #<=># # x_0 + 1 / x_0> 2 # #<=>#

# x_0 ^ 2-2x_0 + 1> 0 # #<=># # (x_0-1) ^ 2> 0 #-># cert per a #x> 0 #

gràfic {e ^ x-lnx -6.96, 7.09, -1.6, 5.42}

# (e ^ x-lnx) / x ^ 2> 2 / x ^ 2 #

# int_1 ^ 2 ((i ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> int_1 ^ 2 (2 / x ^ 2) dx # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((i ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> - 2 / x _1 ^ 2 # #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> ##-1+2# #<=>#

# int_1 ^ 2 ((i ^ x-lnx) / x ^ 2) dx> 1 #<=>#

# int_1 ^ 2 ((e ^ x-lnx) / x ^ 2-1) dx> 0