Hi ha una manera sistemàtica de determinar el nombre de números entre 10 i, per exemple, 50, divisibles pels seus dígits d’unitats?

Resposta:

El nombre de números entre #10# i # 10k # divisible per les seves unitats, el dígit es pot representar com

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

on #fl (x) # representa la funció del sòl, el mapatge # x # al màxim sencer inferior o igual a # x #.

Explicació:

Això equival a preguntar quants enters # a # i # b # existeix on # 1 <= b <5 # i # 1 <= a <= 9 # i # a # divideix # 10b + a #

Tingues en compte que # a # divideix # 10b + a # si i només si # a # divideix # 10b #. Per tant, n'hi ha prou amb trobar quants # b #s existeixen per a cadascun # a #. A més, tingueu en compte que # a # divideix # 10b # si i només si cada factor primer de # a # també és un factor primordial de # 10b # amb la multiplicitat adequada.

Tot el que queda, doncs, és passar per cadascun # a #.

#a = 1 #: Com tots els enters són divisibles per #1#, els quatre valors de # b # treballar.

# a = 2 #: Com #10# és divisible per #2#, els quatre valors de # b # treballar.

# a = 3 #: Com #10# no és divisible per #3#, hem de tenir # b # ser divisible per #3#, això és, # b = 3 #.

# a = 4 #: Com #10# és divisible per #2#, hem de tenir # b # com divisible per #2# tenir la multiplicitat adequada. Així, # b = 2 # o bé # b = 4 #.

# a = 5 #: Com #10# és divisible per #5#, els quatre valors de # b # treballar.

# a = 6 #: Com #10# és divisible per #2#, hem de tenir # b # com divisible per #3#, això és, # b = 3 #.

# a = 7 #: Com #10# no és divisible per #7#, hem de tenir # b # com divisible per #7#. Però #b <5 #, i per tant no hi ha cap valor # b # obres.

# a = 8 #: Com #10# és divisible per #2#, hem de tenir # b # com divisible per #4#, això és, # b = 4 #

# a = 9: # Com #10# no és divisible per #3#, hem de tenir # b # com divisible per #3^2#. Però #b <5 #, i per tant no hi ha cap valor # b # obres.

Això conclou cada cas i, per tant, afegint-los, aconseguim, com conclou en la pregunta, #17# valors. Aquest mètode es pot estendre fàcilment a majors valors, però. Per exemple, si volíem anar #10# a #1000#, restringiríem # 1 <= b <100 #. Després, mirant # a = 6 #, diguem, ho hauríem de fer #2# divideix #10# i per tant #6# divideix # 10b # si i només si #3# divideix # b #. Hi ha #33# múltiples de #3# en el rang de # b #, i per tant #33# números que acaben en #6# i són divisibles per #6# entre #10# i #1000#.

En una notació més curta, més fàcil de calcular, utilitzant les observacions anteriors, podem escriure el nombre d'enters entre #10# i # 10k # com

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

on #fl (x) # representa la funció del sòl, el mapatge # x # al màxim sencer inferior o igual a # x #.

La suma dels dígits d’un determinat nombre de dos dígits és 7. Invertint els seus dígits augmenta el nombre de 9. Quin és el nombre?

B = 4 a = 3 colors (blau) ("El primer dígit és 3 i el segon 4 de manera que el nombre original és de 34") Per ser honest! Seria molt més ràpid de resoldre mitjançant proves i errors. color (magenta) ("Construint les equacions"). Sigui el primer dígit. Deixeu que el segon dígit sigui b el color (blau) ("La primera condició") a + b = 7 ........... .................... (1) '~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Color ~~~ (blau) ("La segona condició") color (verd) ("El valor del primer ordre:") el color (blanc) (xxxx) a és un comp

La suma dels dígits del nombre de tres dígits és 15. El dígit de la unitat és inferior a la suma dels altres dígits. El dígit de les desenes és la mitjana dels altres dígits. Com es troba el número?

A = 3 ";" b = 5 ";" c = 7 donat: a + b + c = 15 ................... (1) c <b + a ............................... (2) b = (a + c) / 2 ...... ........................ (3) '~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ Tingueu en compte l’equació (3) -> 2b = (a + c) Escriviu l’equació (1) com (a + c) + b = 15. Mitjançant la substitució, aquesta es converteix en 2b + b = 15 colors (blau) (=> b = 5) '~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ara tenim: a + 5 + c = 15. .................. (1_a) c <5 + a ........................ ...... (2_a) 5 = (a + c) / 2 .............................. (3_a )

El dígit de les desenes d’un nombre de dos dígits supera el doble de les unitats de dígits de 1. Si els dígits s’inverteixen, la suma del nou nombre i el nombre original són 143.Quin és el número original?

El nombre original és 94. Si un nombre enter de dos dígits té un dígit de les desenes i un dígit b de la unitat, el nombre és 10a + b. Sigui x el dígit de la unitat del nombre original. Llavors, el seu dígit de desenes és 2x + 1, i el nombre és 10 (2x + 1) + x = 21x + 10. Si s'inverteixen els dígits, el dígit de les desenes és x i el dígit de la unitat és 2x + 1. El nombre invertit és 10x + 2x + 1 = 12x + 1. Per tant, (21x + 10) + (12x + 1) = 143 33x + 11 = 143 33x = 132 x = 4 El nombre original és 21 * 4 + 10 = 94.