Considerem l’equació quadràtica # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, que, al costat esquerre, és també un trinomari quadrat perfecte. Factoratge per resoldre:
# => (x + 2) (x + 2) = 0
# => x = -2 i -2 #
Dues solucions idèntiques! Recordem que les solucions d’una equació quadràtica són les intercepcions x en la funció quadràtica corresponent.
Així doncs, les solucions a l’equació # x ^ 2 + 5x + 6 = 0 #, per exemple, seran les x interceptables del gràfic #y = x ^ 2 + 5x + 6 #.
De la mateixa manera, les solucions a l’equació # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 # serà la x intercepta al gràfic de #y = x ^ 2 + 4x + 4 #.
Com que en realitat només hi ha una solució # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, el vèrtex de la funció #y = x ^ 2 + 4x + 4 # es troba a l’eix x.
Ara, pensem en el discriminant d’una equació quadràtica. Si no teniu experiència prèvia amb ell, no us preocupeu.
Utilitzem el discriminant, # b ^ 2 - 4ac #, per verificar quantes solucions i el tipus de solució, una equació quadràtica de la forma # ax ^ 2 + bx + c = 0 # pot tenir sense resoldre l’equació.
Quan el discriminant és igual a menys de #0#, l’equació tindrà cap solució. Quan el discriminant és exactament zero, l'equació tindrà exactament una solució. Quan el discriminant és igual a qualsevol nombre superior a zero, hi haurà exactament dues solucions. Si el nombre en qüestió que obteniu com a resultat és un quadrat perfecte en aquest últim cas, l’equació tindrà dues solucions racionals. Si no, tindrà dues solucions irracionals.
Ja he demostrat que quan teniu un trinomi quadrat perfecte, tindreu dues solucions idèntiques, que són iguals a una solució. Per tant, podem establir el discriminant #0# i resoldre per # c #.
On? #a = 1, b = 14 i c =?:
# b ^ 2 - 4ac = 0 #
# 14 ^ 2 - 4 xx 1 xx c = 0 #
# 196 - 4c = 0 #
# 4c = 196 #
#c = 49 #
Per tant, el trinomi quadrat perfecte amb #a = 1 i b = 14 # és # x ^ 2 + 14x + 49 #. Podem verificar-ho mitjançant el factoring.
# x ^ 2 + 14x + 49 = (x + 7) (x + 7) = (x + 7) ^ 2 #
Exercicis pràctics:
- Utilitzant el discriminant, determineu els valors de #a, b o c # que fan que els trinomis quadrats perfectes.
a) # ax ^ 2 - 12x + 4 #
b) # 25x ^ 2 + bx + 64 #
c) # 49x ^ 2 + 14x + c #
Esperem que això ajudi i bona sort!
