Si us plau expliqui, es tracta d’una transformació lineal o no?

Resposta:

Mirar abaix

Explicació:

Una transformació #T: V es diu que és lineal si té les dues propietats següents:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # per cada # v_1, v_2 en V #
• #T (cv) = cT (v) # per cada #v a V # i cada escalar # c #

Tingueu en compte que la segona propietat assumeix això # V # està incrustat amb dues operacions de suma i multiplicació escalar. En el nostre cas, la suma és la suma entre polinomis i la multiplicació és la multiplicació amb nombres reals (suposo).

Quan es deriva un polinomi es baixa el seu grau per #1#, per tant, si es deriva un polinomi de grau #4# dues vegades, obtindreu un polinomi de grau #2#. Tingueu en compte que, quan parlem del conjunt de tots els polinomi de quatre graus, volem dir que el conjunt de tots els polinomis de grau com a màxim quatre. De fet, un polinomi de grau genèric quatre és

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Si voleu el polinomi grau dos # 3 + 6x-5x ^ 2 #, per exemple, simplement trieu

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Dit això, identificarem l’espai polinòmic de grau # n # amb # P_n #i definiu el nostre operador #T: P_4 # P_2 de tal manera que #T (f (x)) = f '' (x) #

Proveu la primera propietat: assumim que tenim els polinomis

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

i

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Això significa que # p_1 + p_2 # és igual

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # és la segona derivada d’aquest polinomi, així que ho és

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(He aplicat el doble de la regla de potència per a la derivació: la segona derivada de # x ^ n # és #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Ara calculem #T (p_1) #, és a dir, la segona derivada de # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

De la mateixa manera, #T (p_2) #, és a dir, la segona derivada de # p_2 #, és

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Si sumeu aquestes expressions, podeu veure que tenim

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

La segona propietat es mostra de manera similar: donat un polinomi

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

tenim, per a qualsevol nombre real # c #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

la seva segona derivada és així

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

que de nou és el mateix que la computació #T (p) #, i després ho multiplica tot # c #, és a dir, #T (cp) = cT (p) #