El nombre sqrt (104sqrt6 + 468sqrt10 + 144sqrt15 + 2006 es pot escriure asqrt2 + bsqrt3 + csqrt5, on a, b i c són enters positius. Calculeu el producte abc?

Resposta:

# abc = 1872

Explicació:

Donat que

# sqrt {104 sqrt6 + 468 sqrt10 + 144 sqrt15 + 2006} = a sqrt2 + b sqrt3 + c

# 104 sqrt6 + 468 sqrt10 + 144 sqrt15 + 2006 = (a. Sqrt2 + b sqrt3 + c) sqrt5) ^ 2 #

# 104 sqrt6 + 468 sqrt10 + 144 sqrt15 + 2006 = 2a ^ 2 + 3b ^ 2 + 5c ^ 2 + ab sqrt6 + ac sqrt10 + bc

Comparant els coeficients de sqrt2, sqrt3 # & # sqrt5 # en tots dos costats

# ab = 104 #

# ac = 468 #

# bc = 144 #

Es multiplica per sobre de tres equacions

#ab cdot ac cdot bc = 104 cdot 468 cdot 144 #

# (abc) ^ 2 = 104 cdot 468

# abc = sqrt {104 cdot 468

# abc = 12

# abc = 1872