Com determinaríeu l’equació del cercle que travessa els punts D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Resposta:

Substituïu cada punt de l’equació del cercle, desenvolupeu 3 equacions i suprimiu les que tinguin com a mínim 1 coordenades comunes (# x # o bé # y #).

La resposta és:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Explicació:

L'equació del cercle:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

On? #α# #β# són les coordenades del centre del cercle.

Substituïu per a cada punt donat:

Punt D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Equació 1)

Punt E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Equació 2)

Punt F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Equació 3)

Equacions de submissió #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Equacions de submissió #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Ara que #α# i #β# es coneixen, els substituïm en qualsevol dels punts (utilitzarem el punt #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Així, l’equació del cercle es converteix en:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Resposta:

L’equació del cercle és # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Explicació:

En primer lloc, hem de trobar l’equació de dues línies, cadascuna perpendicular als segments formats per un parell de punts donats i que passen pel punt mig d’aquest parell de punts.

Des dels punts D i E (# x_D = x_E = -5 #) estan en una línia paral·lela a l’eix-Y (# x = 0 #) i els punts E i F (# y_E = y_F = 15 #) estan en una línia paral·lela a l’eix-X (# y = 0 #) és convenient triar aquests parells de punts.

Equació de la línia DE, on # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Equació de la línia 1 perpendicular a DE i que passa pel punt mig #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

línia 1# -> y = 5 #

Equació de la línia EF, on # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Equació de la línia 2 perpendicular a EF i que passa pel punt mig #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

línia 2# -> x = 5 #

Combinant equacions de les línies 1 i 2 (# y = 5 # i # x = 5 #) trobem el centre del cercle, punt C

#C (5,5) #

La distància entre el punt C i qualsevol dels punts donats és igual al radi del cercle

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

En la fórmula de l’equació del cercle:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #