Demostrar que les corbes x = y ^ 2 i xy = k es tallen en angles rectes si 8k ^ 2 = 1?

Resposta:

#-1#

Explicació:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = i ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

les dues corbes són

#x = i ^ 2 #

i

#x = sqrt (1/8) / y o x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

per a la corba #x = i ^ 2 #, la derivada respecte a # y # és # 2y #.

per a la corba #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, la derivada respecte a # y # és # -sqrt (1/8) i ^ -2 #.

el punt en què es troben les dues corbes quan és # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

des de llavors #x = i ^ 2 #, #x = 1/2 #

el punt en què es troben les corbes # (1/2, sqrt (1/2)) #

Quan #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

el gradient de la tangent a la corba #x = i ^ 2 # és # 2sqrt (1/2), o 2 / (sqrt2) #.

Quan #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) i ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

el gradient de la tangent a la corba #xy = sqrt (1/8) # és # -2sqrt (1/8), o -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1

Busquem una condició de # k # tal que les corbes # x = y ^ 2 # i # xy = k # "talla en angle recte". Matemàticament, això vol dir que les corbes han de ser ortogonals, la qual cosa al seu torn significa que a tots els punts la tangents a les corbes a cap el punt donat és perpendicular.

Si examinem la família de corbes per a diversos valors de # k # obtenim:

Observem immediatament que busquem un sol punt on la tangent sigui perpendicular, de manera que, en general, les corbes no són ortogonals en tots els punts.

Primer, deixeu-nos-hi trobar el solter coordinar, # P #, del punt d’intersecció, que és la solució simultània de:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):}

Substituint l'Eq A a B obtenim:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = arrel (3) (k) #

I per això establim les coordenades d’intersecció:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3) #

També necessitem els gradients de les tangents en aquesta coordenada. Per a la primera corba:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Així, el gradient de la tangent, # m_1 #, a la primera corba a # P # és:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

De la mateixa manera, per a la segona corba:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Així, el gradient de la tangent, # m_2 #, a la segona corba a # P # és:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

= -k ^ (- 1/3) #

Si aquestes dues tangents són perpendiculars llavors requerirem que:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1

#:. k ^ (- 2/3) = 2

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Com a resultat:

# 8k ^ 2 = 1 QED

I amb aquest valor de # k #