Quin és el valor mínim de g (x) = x / csc (pi * x) a l'interval [0,1]?

Resposta:

Hi ha un valor mínim de #0# situats tots dos a # x = 0 # i # x = 1 #.

Explicació:

Primer, podem escriure immediatament aquesta funció

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Recordant això #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Ara, per trobar valors mínims en un interval, reconeix que poden ocórrer en els punts finals de l’interval o en qualsevol valor crític que es produeixi en l’interval.

Per trobar els valors crítics dins de l’interval, establiu la derivada de la funció igual a #0#.

I, per diferenciar la funció, haurem d’utilitzar el regla del producte. L’aplicació de la regla del producte ens proporciona

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Cadascun d’aquests derivats dóna:

# d / dx (x) = 1

I, a través de la regla de la cadena:

# d / dx (sin (pix)) = cos (pix) underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Combinant-los, ho veiem

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Per tant, es produiran valors crítics quan sigui

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0

No podem resoldre això algebraicament, de manera que utilitzeu una calculadora per trobar tots els zeros d'aquesta funció en l’interval donat #0,1#:

gràfic {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Els dos valors crítics dins de l’interval són a # x = 0 # i # xapprox0.6485 #.

Per tant, sabem que el valor mínim de #g (x) # podria produir-se a #3# diferents llocs:

• # x = 0 # o bé # x = 1 #, els punts finals de l’interval
• # x = 0 # o bé # x = 0,6485 #, els valors crítics dins de l’interval

Ara, connecteu cada un d’aquests valors possibles a l’interval:

# {(g (0) = 0, text (mínim) de color (vermell)), (g (0.6485) = 0.5792, text de color (blau) (màxim), (g (1) = 0, color (vermell) text (mínim)):}

Com que hi ha dos valors igualment baixos, hi ha mínims tant a # x = 0 # i # x = 1 #. Tingueu en compte que, tot i que hem trobat problemes # x = 0,6485 #, ni tan sols era un mínim.

Gràfic és #g (x) # en l’interval #0,1#:

gràfic {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

A més, tingueu en compte que el valor mínim és #0#, des de #g (0) = g (1) = 0. La distinció és això # x = 0 # i # x = 1 # són les ubicacions dels mínims.