Quin és el valor de? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Resposta:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Explicació:

Cerquem:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Tant el numerador com el denominador2 #rarr 0 # com #x rarr 0 #. per tant, el límit # L # (si existeix) té una forma indeterminada #0/0#, i en conseqüència, podem aplicar la regla de L'Hôpital per aconseguir:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Ara, utilitzant el teorema fonamental del càlcul:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

I,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

I així:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

De nou, aquesta és d'una forma indeterminada #0/0#, i en conseqüència, podem aplicar de nou la regla de L'Hôpital per obtenir:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

= lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

La qual cosa, podem avaluar:

# L = (0) / (2-0) = 0