Què són les asíntotes i les discontinuïtats extraïbles, si n'hi ha, de f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Resposta:

#f (x) # té una asíntota horitzontal # y = 0 # i una asíntota vertical # x = 0 #

Explicació:

Donat:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• El domini del numerador #sqrt (x) # és # 0, oo) #

• El domini del denominador # e ^ x - 1 # és # (- oo, oo) #

• El denominador és zero quan # e ^ x = 1 #, que per a valors reals de # x # només es produeix quan # x = 0 #

D'aquí el domini de #f (x) # és # (0, oo) #

Utilitzant l'expansió de sèrie de # e ^ x #, tenim:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (blanc) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (blanc) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (blanc) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Tan:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (blanc) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (blanc) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (blanc) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

i:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Tan #f (x) # té una asíntota vertical # x = 0 # i una asíntota horitzontal # y = 0 #

gràfic {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6.1, 13.9, -2.92, 7.08}