Resposta:
#(-9/14,3/28)#
Explicació:
Comencem per # y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Això no és ni en forma estàndard ni en forma de vèrtex, i sempre prefereixo treballar amb una d'aquestes dues formes. Per tant, el meu primer pas és convertir aquest embolic en forma estàndard. Ho fem canviant l'equació fins que sembli # y = ax ^ 2 + bx + c #.
Primer, ens ocupem # (x + 1) ^ 2 #. La reescrivim com # (x + 1) * (x + 1) #, i simplificar l’ús de la distribució, tot això ens dóna # x ^ 2 + x + x + 1 #, o # x ^ 2 + 2x + 1 #.
Ara ho tenim # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Si simplificem # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, això ens deixa # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Ara podem combinar termes similars. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # Donan's # 7x ^ 2 #, i # 6x + 3x # és igual # 9x #. Ara ho tenim # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, que està en forma estàndard. No t'ho passis massa bé, perquè anem a convertir-nos això en forma de vèrtex en només un minut.
Per resoldre la forma de vèrtex, completarem el quadrat. També podríem utilitzar la fórmula quadràtica o fer una gràfica de l’equació que tenim ara, però on és la diversió en això? Completar la plaça és més difícil, però és un mètode que val la pena aprendre perquè és bastant ràpid, un cop ho feu. Comencem.
En primer lloc, hem d’obtenir # x ^ 2 # per si mateix (sense coeficients, excepte el nombre #1# permès). En el nostre cas, necessitem un factor a #7# de tot. Això ens dóna # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. A partir d’aquest punt, hem de prendre el terme mitjà # (9 / 7x) # i dividiu el coeficient per #2#, el qual és #9/14#. A continuació, quadrats això i ho tenim #81/196#. Afegim això a la nostra equació, de manera que: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
ESPERA !!! Acabem d’aconseguir un nombre aleatori a l’equació. No podem fer això! Com podem solucionar això? Bé, i si acabem de restar el número que acabem d’afegir? Llavors el valor no ha canviat #(81/196-81/196=0)#, així que no hem trencat cap norma, oi? Bé, fem-ho.
Ara ho tenim # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Bé, ara som bons. Tot i així, hem de seguir simplificant-ho, perquè # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # és llarg i molest. Tan, #-81/196+3/7# és #3/196#, i podem reescriure # x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # com # (x + 9/14) * (x + 9/14) #, o # (x + 9/14) ^ 2 #. Potser us preguntareu per què no he combinat #3/196# amb #81/196#. Bé, vull crear un quadrat perfecte, com # (x + 9/14) ^ 2 #. Això és realment el punt de completar la plaça. # x ^ 2 + 9/7 + 3/7 # no era factible, així que vaig trobar el número ((9/2) / 2 ^ 2) que el fa factible. Ara tenim un quadrat perfecte, amb les coses inconvenients i imperfectes incloses al final.
Així doncs, ara ho tenim # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Gairebé ja hem acabat, però encara podem fer una cosa més: distribuir-la #7# a #3/196#. Això ens dóna # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #, i ara tenim el nostre vèrtex! Des de # 7 (x + color (verd) (9/14)) 2 colors (vermell) (+ 3/28) #, tenim els nostres dos #color (verd) (x) #-valor i el nostre #color (vermell) (y) #-valor. El nostre vèrtex és # (color (taronja) (-) color (verd) (9/14), color (vermell) (3/28)). Tingueu en compte que el signe del #color (verd) (x) # component és contrari del signe dins de l’equació.
Per comprovar el nostre treball, només podem representar gràficament l’equació i trobar el vèrtex d'aquesta manera.
gràfic {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
El vèrtex és #(.643,.107)#, que és la forma decimal arrodonida de #(-9/14, 3/28)#. Teníem raó! Bona feina.
