Què és la derivada de cot ^ 2 (x)?

RESPOSTA

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #

EXPLICACIÓ

Utilitzeu la regla de la cadena per solucionar-ho. Per fer-ho, haureu de determinar quina és la funció "exterior" i quina és la funció "interna" que es compon de la funció externa.

En aquest cas, #cot (x) # és la funció "interna" que es compon com a part de la # cot cot 2 (x) #. Per mirar-ho d'una altra manera, denotem # u = bressol (x) # i que # u ^ 2 = cot ^ 2 (x) #. Mireu com funciona la funció composta aquí? La funció "exterior" de # u ^ 2 # quadra la funció interna de # u = bressol (x) #. La funció externa va determinar el que va passar amb la funció interna.

No deixeu que el # u # confondre't, és només mostrar-te com una funció és composta de l’altra. Ni tan sols has d’utilitzar-lo. Quan enteneu això, podeu derivar-vos.

La regla de la cadena és:

#F '(x) = f' (g (x)) (g '(x)) #

O, en paraules:

la derivada de la funció externa (la funció interior es queda sola!) vegades la derivada de la funció interna.

1) La derivada de la funció externa # u ^ 2 = cot ^ 2 (x) # (amb la funció interna que queda sola) és:

# d / dx u ^ 2 = 2u #

(Vaig a sortir de la # u # ara per ara, però podeu entrar # u = bressol (x) # si voleu fer els passos. Recordeu que aquests són només passos, la derivada real de la pregunta es mostra a la part inferior

2) La derivada de la funció interna:

# d / dx cot (x) = d / dx 1 / tan (x) = d / dx sin (x) / cos (x) #

Espera! Heu de fer una regla del quocient aquí, tret que hàgiu memoritzat la derivada de #cot (x) #

# d / dx cos (x) / sin (x) = (- sin ^ 2 (x) -cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = - (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2x) / (sin ^ 2 (x)) = -1 / (sin ^ 2 (x)) = -csc ^ 2 (x) #

Combinant els dos passos mitjançant la multiplicació per obtenir la derivada:

# d / dx cot ^ 2 (x) = -2cot (x) csc ^ 2 (x) #