Resoldre (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5)?

Resposta:

La solució de:

# (x + 3) / (x + 2) color (vermell) (-) (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #

és #x = -7 / 2 #

Explicació:

Suposem que la pregunta hauria de ser:

# (x + 3) / (x + 2) color (vermell) (-) (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #

Fer denominadors comuns a la banda esquerra i al costat dret, això es converteix en:

# ((x + 3) (x + 3) - (x + 2) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) = ((x + 5) (x + 5) - (x + 4) (x + 6)) / ((x + 4) (x + 5)) #

Multiplicant els numeradors, obtenim:

# ((x ^ 2 + 6x + 9) - (x ^ 2 + 6x + 8)) / ((x + 2) (x + 3)) = ((x ^ 2 + 10x + 25) - (x ^ 2 + 10x + 24)) / ((x + 4) (x + 5)) #

La majoria dels termes del numerador cancel·len, per donar-nos:

# 1 / ((x + 2) (x + 3)) = 1 / ((x + 4) (x + 5)) #

Prenent el recíproc dels dos costats, això es converteix en:

# (x + 2) (x + 3) = (x + 4) (x + 5) #

que es multiplica com:

# x ^ 2 + 5x + 6 = x ^ 2 + 9x + 20 #

Restant # x ^ 2 + 5x + 20 # des de tots dos costats, això es converteix en:

# -14 = 4x #

Dividir els dos costats de #2# i transposició, obtenim:

#x = -7 / 2 #

Resposta:

En la forma donada, es resol un quàrtic típic amb arrels aproximades:

# x_1 ~~ -9.4400 #

# x_2 ~~ -0.28158 #

# x_3 ~~ -2.6392 + 4.5893i #

# x_4 ~~ -2.6392-4.5893i #

Explicació:

Assumint que la pregunta és correcta, com es dóna …

Donat:

# (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #

Restar el costat dret de l’esquerra per obtenir:

# (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) - (x + 5) / (x + 4) + (x + 6) / (x + 5) = 0 #

Transposició i multiplicació de tots dos costats per # (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) # això es converteix en:

# 0 = (x + 3) ^ 2 (x + 4) (x + 5) + (x + 2) (x + 4) ^ 2 (x + 5) - (x + 2) (x + 3) (x + 5) ^ 2 + (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 6) #

#color (blanc) (0) = (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 83x ^ 2 + 201x + 180) + (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 82x ^ 2 + 192x + 160) - (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 81x ^ 2 + 185 + 150) + (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 80x ^ 2 + 180x + 144) #

#color (blanc) (0) = 2x ^ 4 + 30x ^ 3 + 164x ^ 2 + 573x + 149 #

Es tracta d’un quàrtic típic, amb dos zeros irracionals reals i dos zeros complexos no reals.

És possible, però molt desordenat, de resoldre algebraicament. Utilitzant un mètode numèric com Durand-Kerner trobem solucions aproximades:

# x_1 ~~ -9.4400 #

# x_2 ~~ -0.28158 #

# x_3 ~~ -2.6392 + 4.5893i #

# x_4 ~~ -2.6392-4.5893i #

Consulteu http://socratic.org/s/aKtpkf7J per obtenir més detalls.