Sigui x, y, z tres nombres reals i diferents que satisfacin l’equació 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0, llavors, Quina de les següents opcions són correctes ? (a) x / y = 1/2 (b) i / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z estan en A.P

Resposta:

La resposta és (a).

Explicació:

# 8 (4x ^ 2 + i ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 es pot escriure com

# 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

o bé # 16x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

és a dir. # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + z ^ 2-4x * 2y-2y * z-4x * z = 0 #

si # a = 4x #, # b = 2y # i # c = z #, llavors això és

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca = 0 #

o bé # 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca = 0 #

o bé # (a ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (b ^ 2 + c ^ 2-2bc) + (c ^ 2 + a ^ 2-2ac) = 0 #

o bé # (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 = 0 #

Ara, si la suma de tres quadrats és #0#, cadascun d’ells ha de ser zero.

Per tant # a-b = 0 #, # b-c = 0 # i # c-a = 0 #

és a dir. # a = b = c # i en el nostre cas # 4x = 2y = z = k dir

llavors # x = k / 4 #, # y = k / 2 # i # z = k #

és a dir. # x, y # i # z # es troben a G.P, i # x / y = 2/4 = 1/2 #

# y / z = 1/2 # i per tant la resposta és (a).

# x, y, z # són tres nombres reals i diferents que satisfan l’equació

Donat

# 8 (4x ^ 2 + i ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0

# => 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

# => (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * 4x * 2y + (4x) ^ 2 + z ^ 2-2 * 4x * z + (2y) ^ 2 + z ^ 2-2 * 2y * z = 0 #

# => (4x-2y) ^ 2 + (4x-z) ^ 2 + (2y-z) ^ 2 = 0 #

Suma tres quantitats reals quadrades sent zero cada una d’elles ha de ser zero.

Per tant # 4x-2y = 0-> x / y = 2/4 = 1 / 2to #Opció (a)

# 4x-z = 0 => 4x = z #

i

# 2y-z = 0 => 2y = z #