Resoldre la següent equació en nombres naturals: x² + y² = 1997 (x-y)?

Resposta:

# (x, y) = (170, 145) # o bé # (x, y) = (1817, 145) #

Explicació:

La següent prova es basa en això en el llibre "Una introducció a les equacions diofantines: un enfocament basat en problemes" de Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Donat:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Deixar #a = (x + y) # i #b = (1997-x + y) #

Llavors:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + i ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Per tant, trobem:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + i <1997):}

Des de #1997# és primer, # a # i # b # no tenen un factor comú més gran que #1#.

Per tant, hi ha enters positius #m, n # amb #m> n # i cap factor comú major que #1# de tal manera que:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} color (blanc) (XX) "o" color (blanc) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):}

Mirant a # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # en mod #3# i mod #5# aritmètica, trobem:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) per tant #m - = + -1 # i #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) per tant #m - = + -1 # i #n - = + -1 # (mod #5#)

Això significa que les úniques possibilitats #m, n # mòdul #15# són #1, 4, 11, 14#.

A més, tingueu en compte que:

# m ^ 2 en (1997/2, 1997) #

Per tant:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Així que les úniques possibilitats per a # m són #34, 41, 44#

Trobem:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# no és un quadrat perfecte.

#1997 - 44^2 = 61# no és un quadrat perfecte.

Tan # (m, n) = (34, 29) #

Tan:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

o bé

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#color (blanc) () #

Si # (a, b) = (1972, 315) # llavors:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):}

i per tant:

# (x, y) = (1817, 145) #

#color (blanc) () #

Si # (a, b) = (315, 1972) # llavors:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):}

i per tant:

# (x, y) = (170, 145) #