Què vol dir el límit d'una seqüència infinita?

El límit d’una seqüència infinita ens explica el comportament a llarg termini d’aquesta.

Es dóna una seqüència de nombres reals # a_n #, és el límit #lim_ (n to oo) a_n = lim a_n # es defineix com el valor únic que s'apropa la seqüència (si s'aproxima a qualsevol valor) a mesura que fem l’índex # n # més gran. El límit d'una seqüència no existeix sempre. Si ho fa, es diu que la seqüència és convergent, en cas contrari es diu que és divergent.

Dos exemples senzills:

Penseu en la seqüència # 1 / n #. És fàcil veure que el seu límit és #0#. De fet, donat qualsevol valor positiu proper #0#, sempre podem trobar un valor prou bo de # n # de tal manera que # 1 / n # és menor que aquest valor donat, que significa que el seu límit ha de ser menor o igual a zero. A més, cada terme de la seqüència és major que zero, de manera que el límit ha de ser major o igual a zero. Per tant, ho és #0#.
Prengui la seqüència constant #1#. És a dir, per a qualsevol valor donat de # n #, el terme # a_n # de la seqüència és igual a #1#. És clar que no importa el gran que tinguem # n # el valor de la seqüència és #1#. Per tant, és el límit #1#.

Per a una definició més rigorosa, anem # a_n # ser una seqüència de nombres reals (és a dir, #forall n a NN: a_n a RR #) i #epsilon a RR #. Llavors el nombre # a # es diu que és el límit de la seqüència # a_n # si i només si:

#forall epsilon> 0 existeix N en NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Aquesta definició és equivalent a la definició informal donada anteriorment, excepte que no cal imposar la unicitat pel límit (es pot deduir).

El primer i el segon termes d’una seqüència geomètrica són, respectivament, el primer i el tercer termes d’una seqüència lineal. El quart terme de la seqüència lineal és 10 i la suma dels seus primers cinc termes és 60.

{16, 14, 12, 10, 8} Una seqüència geomètrica típica es pot representar com c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k i una seqüència aritmètica típica com c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Cridar c_0 a com el primer element de la seqüència geomètrica que tenim {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "El primer i el segon de GS són el primer i el tercer d’un LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "El quart terme de la seqüència lineal és 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "La suma dels primers cinc termes és de 60"):}

El segon terme en una seqüència geomètrica és 12. El quart terme en la mateixa seqüència és 413. Quina és la relació comuna en aquesta seqüència?

Propietat comuna r = sqrt (413/12) Segon terme ar = 12 Quart terme ar ^ 3 = 413 Relació comuna r = {ar ^ 3} / {ar} r = sqrt (413/12)

Quina diferència hi ha entre una seqüència infinita i una sèrie infinita?

Una seqüència infinita de nombres és una llista ordenada de nombres amb un nombre infinit de nombres. Es pot considerar una sèrie infinita com la suma d’una seqüència infinita.